Anno Accademico 2024-25

Orario lezioni

• Lunedì 13-16 aula 0B edificio H3.
• Mercoledì 11-13 aula 1B edificio H3 (Il 16 ottobre 2024: aula M edificio A).

• Lindsay N. Childs, A concrete introduction to higher algebra, third edition, Springer.
  Disponibile nella Biblioteca di Scienze Matematiche del DMG e anche in una versione in rete.
• N. Jacobson, Basic algebra Disponibile nella Biblioteca di Scienze Matematiche del DMG
• I. N. Herstein, Algebra, Roma, Editori Riuniti (1992) Disponibile presso la biblioteca di Scienze Matematiche.
• (Per approfondimenti su teoria dei Gruppi) John Rose A course on Group theory, Cambridge University Press.
• I. Stewart, Galois Theory, Disponibile nella Biblioteca di Scienze Matematiche del DMG.
• E. Artin, Algebra, Prentice-Hall, 1991.

Programma completo del corso:

• Programma 2018-19
• Programma 2019-20
• Programma 2020-21
• Programma 2021-22
• Programma 2022-23
• Programma 2023-24
• Programma 2024-25 (provvisorio)

Esercizi a.a. 2024-25

• Esercizi 26 settembre 2024.
• Esercizi 4 ottobre 2024.
• Esercizi 10 ottobre 2024.
• Esercizi 17 ottobre 2024.
• Esercizi 24 ottobre 2024.
• Esercizi 31 ottobre 2024.
• Esercizi 7 novembre 2024.
• Esercizi 14 novembre 2024.
• Esercizi 21 novembre 2024.

Lezioni

Diario delle lezioni

• Lezione 1 (23 sett. 24). Introduzione al corso. Ripasso di alcuni argomenti già incontrati in algebra 1: relazioni di equivalenza, gruppi, sottogruppi, sottogruppi normali, omomorfismi, nucleo di un omomorfismo, gruppo quoziente.
• Lezione 2 (25 sett. 24). Ancora richiami: teorema di Lagrange, teoremi di omomorfismo. Ordine di un elemento. Gruppi ciclici. Il gruppo delle radici ennesime dell'unità.
• Lezione 3 (30 sett. 24). Ancora sui gruppi ciclici. Anelli. Ideali, omomorfismi in anelli, anelli quoziente. Esempi: ideali di Z. Gli anelli Z_n. Elementi divisori dello zero ed elementi invertibili in un anello.
• Lezione 4 (30 sett. 24). (1 ora). Discussione esercizi.
• Lezione 5 (2 ott. 24). Elementi associati in un anello. Domini d'integrità, elementi primi e irriducibili in un dominio d'integrità ideali primi e ideali massimali in un anello. Definizione di massimo comun divisore in un dominio d'integrità. Richiamo sull'algoritmo di Euclide per il calcolo del MCD e identità di Bezout.
• Lezione 6 (7 ott. 24). Congruenze. Gruppo delle unità di Z_m. La funzione di Eulero, il teorema di Eulero e il piccolo teorema di Fermat. Applicazioni. Calcolo delle potenze di un numero intero modulo un numero m. Test di primalità con il piccolo teorema di Fermat. Altri esempi.
• Lezione 7 (7 ott. 24). (1 ora). Discussione esercizi.
• Lezione 8 (9 ott. 24). Ancora esempi piccolo Teorema Fermat. Teorema cinese dei resti. Esempi. Sue conseguenze. Formulazione con gli anelli Z_m. Prime considerazioni sui gruppi finiti.
• Lezione 9 (14 ott. 24). Problema dell'inversione del teorema di Lagrange. Nei gruppoi ciclici e pi\`u in generale, nei gruppi abeliani finiti si pu\`o invertire il teorema di Lagrange
• Lezione 10 (14 ott. 24). (1 ora). Discussione esercizi.
• Lezione 11 (7 ott. 24). Nozione di p-gruppo, di p-sottogruppo e di p-sottogruppo di Sylow. I teoremi di sylow ed esempi.
• Lezione 12 (21 ott. 24). Anello dei polinomi. Grado di un polinomio, coefficiente direttivo, coefficiente direttivo del prodotto di due polinomi. Divisione tra polinomi. Unicit\`a del resto e del quoziente (nell'ipotesi che il coefficiente direttivo del divisore sia invertibile).
• Lezione 13 (21 ott. 24). (1 ora). Discussione esercizi.
• Lezione 14 (23 ott. 24). Massimo comun divisore tra polinomi. Algoritmo di Euclide. Il teorema di Ruffini, il teorema di D'Alambert. Discussione esercizi.
• Lezione 15 (28 ott. 24). L'anello dei polinomi a coefficienti in un campo è un dominio ad ideali principali. In Z e in e in K[x] irriducibile = primo. Definizione di dominio a fattorizzazione unica (UFD). L'anello degli interi è un dominio a fattrizzazione unica.
• Lezione 16 (28 ott. 24). (1 ora). Discussione esercizi.
• Lezione 17 (29 ott. 24). Ancora sul fatto che Z è UFD. Elementi invertibili in K[x]. Elementi irriducibili in C[x] (sono solo i polinomi di grado 1). Elementi irriducibili in R[x] (sono solo i polinomi di grado 1 e i polinomi di grado 2 con discriminante negativo).
  Discussione esercizi.
• Lezione 18 (30 ott. 24). Polinomi in Q[x]. Polinomio primitivo. Il prodotto di polinomi primitivi è primitivo. Lemma di Gauss. Un polinomio di grado almeno 1 primitivo &egave; irriducibile in Z[x] se e solo se lo è in Q[x]. Inizio della dimostrazione del fatto che Z[x] è un UFD.
• Lezione 19 (4 nov. 24). Z[x] è un UFD. Fattorizzare in Q[x]. Prime considerazioni. Come trovare se un polinomio di Q[x] ha fattori lineari.
• Lezione 20 (4 nov. 24). (1 ora) Correzione esercizi.
• Lezione 21 (5 nov. 24). Il criterio di Eisenstein. Esempi di infiniti polinomi irriducibili di grado n in Q[x] e in Z[x]. La caratteristica di un anello. Esempi. I domini hanno caratteristica zero o un numero primo p.
• Lezione 22 (6 nov. 24). Omomorfismo di Frobenius. Campi perfetti. Ogni campo finito è perfetto. Il derivato di un polinomio. Proprietà del derivato. Polinomi con derivato nullo: o sono costanti (se la caratteristica del campo dei coefficienti è zero) o sono potenze p-ime di un altro polinomio (se il campo dei coefficienti è un campo perfetto di di caratteristica p). Uso del massimo comun divisore tra un polinomio e il suo derivato per scoprire se il poinomio ha fattori multipli.
• Lezione 23 (11 nov. 24) Congruenze tra polinomi di K[x]. L'anello quoziente K[x]/I. Esempi. Il teorema cinese dei resti per l'anello dei polinomi in una variabile.
• Lezione 24 (11 nov. 24) (1 ora) Correzione esercizi.
• Lezione 25 (13 nov. 24) Dati n elementi di un campo K a due a due distinti e dati altri n elementi di K, esiste un unico polinomio di grado minore di n tale che, valutato nei primi elementi di K dà i secondi elementi. Primo teorema di Berlekamp. Costruzione della matrice Q.
• Lezione 26 (18 nov. 24) Dimostrazione del secondo teorema di Berlekamp. Esempi.
• Lezione 27 (18 nov. 24) (1 ora) Correzione esercizi
• Lezione 28 (20 nov. 24) Il terzo teorema di Berlekamp. Alcuni esempi.

Anni accademici precedenti

diario delle lezioni a.a. 22-23: Si veda qui.

diario delle lezioni a.a. 21-22 e registrazione: Si veda qui.

diario delle lezioni a.a. 20-21 e registrazione: Si veda qui.

Esercizi a.a. 2023-24

• Esercizi 28 settembre 2023.
• Esercizi 5 ottobre 2023.
• Esercizi 13 ottobre 2023.
• Esercizi 20 ottobre 2023.
• Esercizi 27 ottobre 2023.
• Esercizi 31 ottobre 2023.
• Esercizi 10 novembre 2023.
• Esercizi 17 novembre 2023.
• Esercizi 24 novembre 2023.
• Esercizi 1 dicembre 2023.
• Esercizi 8 dicembre 2023.
• Esercizi 15 dicembre 2023.
• Esercizi riassuntivi 23 dicembre 2023.

• Lezione 1: Introduzione al corso. Richiami su definizione di gruppi, sottogruppi, classi laterali (destre e sinistre), primi esempi di gruppi.
• Lezione 2: Sottogruppi normali, gruppi quoziente, omomorfismi di gruppi. Il nucleo di un omomorfismo. L'omomorfismo canonico da un gruppo nel suo quoziente fatto rispetto ad un sottogruppo normale. Teoremi di omomorfismo. Legge del doppio quoziente. Gruppi ciclici.
• Lezione 3: Ancora sui gruppi ciclici. Esempi. I gruppi ciclici delle radice n-ime dell'unità. Definizione di anelli, di ideali, ideali destri sinistri, bilateri, ideali in anelli commutativi. Ideali di Z.
• Lezione 4: Omomorfismi di anelli. Teoremi di omomorfismo. Campi. Ideali nei campi. Ideali generati da un insieme. Ideali finitamente generati. Ideali principali. Definizione di PID (dominio ad ideali principali).
• Lezione 5: Elementi invertibili in un anello. Elementi primi e irriducibili in un dominio d'integrità. In un dominio, se un elemento è primo, allore è anche irriducibile. Definizione di massimo comun divisore tra due elementi di un anello. La divisione nell'anello degli interi Z. Calcolo del massimo comun divisore in Z per mezzo dell'algoritmo di Euclide. L'identità di Bezout. Il gruppo degli elementi invertibili di Z_n. La funzione di Eulero e il piccolo teorema di Fermat.
• Lezione 6: Teorema cinese dei resti per numeri interi. Conseguenza/altra formulazione del teorema: se m₁, ..., m_n sono numeri naturali a due a due coprimi, allora Z_m è isomorfo al prodotto Z_{m_1}x ... x Z_{m_n}, dove m è il prodotto degli m_i.
  Alcuni approfondimenti sui gruppi finiti. Quando si può invertire il teorema di Lagrange? Se G è un gruppo ciclico finito e se m divide il suo ordine, G ha un sottogruppo di ordine m. Teorema di Cauchy per gruppi abeliani: Dato un gruppo finito abeliano G di ordine m, se p è un primo che divide m, allora G ha un elemento di ordine p. Se G è un gruppo abeliano finito di ordine n e se m divide n, allora G ha un sottogruppo di ordine m.
• Lezione 7: Gruppi finiti: i tre teoremi di Sylow (senza dim). Definizione di p sottogruppo e di p sottogruppo di Sylow di un gruppo. Teorema di Cauchy (per gruppi non abeliani).
  La costruzione dell'anello dei polinomi in una variabile.
• Lezione 8: Ancora sulla costruzione dell'anello dei polinomi. Grado di un polinomio, termine/coefficiente direttivo di un polinomio, termine noto, polinomio monico. Dati due polinomi di A[x], se i loro coefficienti direttivi non sono divisori dello zero, allora il grado del loro prodotto è la somma dei loro gradi. Se A è un dominio di integrità, allora A[x] è anche un dominio. Un omomorfismo tra due anelli A, B si estende in unico modo ad un omomorfismo tra A[x] e B[y] che manda x in y. Omomorfismo di valutazione (che manda un polinomio f(x) di A[x] nell'elemento f(a) di A). Dato un omomorfismo h da A in B ed un elemento b di B, esiste un unico omomorfismo da A[x] in B che estende h e che manda x in b. Divisione tra polinomi: dati f, g in A[x], se il coefficiente direttivo di f è invertibile, allora esistono due polinomi q, r unici con grado di r minore del grado di f tali che g = qf+r.
  Teorema di Ruffini: il resto della divisione di un polinomio di K[x] (con K campo) quando viene diviso per x-a vale f(a); inoltre f è divisibile per x-a se e solo se f(a)=0.
  Teorema di D'Alambert: un polinomio di grado n a coefficienti in un campo ha al massimo n radici. Conseguenza: se il campo K dei coefficienti è infinito, allora f=g se e solo se f(a)=g(a) per ogni a in K.
• Lezione 9: Elementi associati in un anello. Definizione di massimo comun divisore in un dominio. Unicità del massimo comun divisore (a meno di associati). Il massimo comun divisore tra polinomi in una variabile (a coefficienti in un campo). Costruzione del massimo comun divisore tra polinomi per mezzo della divisione e identità di Bezout. L'anello dei polinomi in una variabile a coefficienti su un campo è ad ideali principali (PID). Esempi. L'anello dei polinomi in una variabile a coefficienti negli interi non è invece un PID.
• Lezione 10: Elementi primi e irriducibili in un dominio. Se in un dominio esiste il massimo comun divisore, allora primo = irriducibile. Fattorizzazione unica in irriducibili in K[x] (con K campo). Unicità della fattorizzazione. Tutti i polinomi di grado 1 sono irriducibili in K[x]. Teorema fondamentale dell'algebra: ogni polinomio di grado almeno 1 con coefficienti nel campo complesso ha almeno una radice (nel campo complesso). Conseguenza: gli unici polinomi irriducibili in C[x] sono i polinomi di grado 1; ogni polinolmio di grado almeno 1 è prodotto di polinomi lineari. Cenno alla dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra.
• Lezione 11: Fattorizzazione in R[x]. Tutti i polinomi irriducibili sono o di grado 1 o grado 2 e con discriminante negativo. Problema della comprensione dei polinomi iriducibili in Q[x]. Definizione di polinomio primitivo in Q[x] (un polinomio a coefficienti interi con i coefficienti primi tra loro). Ogni polinomio di Q[x] è associato ad un polinomio primitivo. Il prodotto di due polinomi primitivi è primitivo. Se due polinomi primitivi sono associati, allora o sono uguali o opposti. Lemma di Gauss. Conseguenze del lemma di Gauss: un polinomio primitivo (non constante) è irriducibile in Z[x] se e solo se è irriducibile in Q[x].
• Lezione 12: Definizione di dominio a fattorizzazione unica (UFD). Esempi: gli anelli Z e K[x] (con K campo) sono UFD.
  Ogni polinomio primitivo in Z[x] è prodotto di polinomi irriducibili in Z[x], primitivi, essenzialmente in unico modo. L'anello dei polinomi Z[x] è un dominio a fattorizzazione unica. Metodo per trovare se un polinomio in Q[x] (o in Z[x]) ha dei fattori lineari o, equivalentemente, se ha una radice razionale p/q (basta ricercare p tra i fattori del termine noto del polinomio e q tra i fattori del coefficiente direttivo del polinomio). Criterio di irriducibiltà di Eisenstein. Conseguenze: ci sono infiniti polinomi irriducibili in Q[x] in ogni grado.
  Caratteristica di un anello.
• Lezione 13: Ancora sulla caratteristica di un anello. Ogni anello unitario contiene una copia di Z (se è di caratteristica 0) o una copia di Z_m (se è di caratteristica m). Un dominio ha sempre caratteristica 0 o un numero primo p. In un anello di caratteristica p (numero primo) vale la formula (a+b)^p=a^p+b^p. L'omomorfismo di Frobenius. Definizione di campo perfetto: un campo di caratteristica p è perfetto se l'omomorfismo di Frobenius è un isomorfismo, cioè se ogni elemento del campo ammette una radice p-ima. I campi finiti sono perfetti. Nei campi Z_p ogni elemento è radice p-ima di sè stesso.
  Definizione di derivato D(f) di un polinomio f (in K[x] con K campo). L'applicazione D dell'anello dei polinomi in sè è lineare e inoltre vale: D(fg) = D(f) g + f D(g). Se un campo è di caratteristica zero, allora D(f) = 0 comporta che f è in K. Se un campo è di caratteristica p ed è perfetto, allora D(f) = 0 comporta che f è la potenza p-ima di un polinomio.
• Lezione 14: Uso del massimo comun divisore tra un polinomio e il suo derivato per scoprire se il polinomio ha fattori multipli. Vale: Se il campo K è di caratteristica zero o è un campo perfetto, allora un polinomio f di K[x] ha fattori multipli se e solo se il massimo comun divisore tra f e D(f) non è unitario.
  Problema della fattorizzazione di polinomi in Z_p[x]. Il primo teorema di Berlekamp.
  Appunti sui teoremi di Berlekamp.
• Lezione 15: Il secondo teorema di Berlekamp. Esempi.
• Lezione 16: Il terzo teorema di Berlekamp ed esempi. Esempio completo di fattorizzazione con il metodo di Berlekamp. Altri esempi.
• Lezione 17: Polinomi in più variabili, definiti induttivamente. Definizione monomi e termini. Definizione di grado (globale e rispetto ad una variabile) di un polinomio. Principio di identità di polinomi. Se A è un dominio, anche A[x₁, ..., x_n] è un dominio, se A è un UFD (dominio a fattorizzazione unica), anche A[x₁, ..., x_n] è un UFD. A[x₁, ..., x_n], se n > 1, non è un PID. Esempi. Teorema di estensione di un omomorfismo f tra due anelli A e B ad un omomorfismo F tra A[x₁, ..., x_n] che estende f e che manda x₁, ..., x_n in n elementi di B fissati. Ideali in K[x₁, ..., x_n] (con K campo). Esempi.
• Lezione 18: Esempi di ideali in K[x₁, ..., x_n] (con K campo). Ideali della forma (x₁-a₁, ..., x_n-a_n) sono ideali massimali. Un modo per provarlo utilizza il teorema di estensione di un omomorfismo da K[x₁, ..., x_n] in K che estende l'identità su K e manda x_i in a_i.
• Lezione 19: Se B è un anello, se A è un sottoanello di B e se b₁, ..., b_n sono n elementi di B fissati, allora con A[b₁, ..., b_n] si indica il più piccolo sottoanello di B che contiene A e b₁, ..., b_n (esiste sempre, basta prendere l'intersezione di tutti i sottoanelli di B che contengono A e b₁, ..., b_n). Se si definisce l'omomorfismo di anelli F : A[x₁, ..., x_n] --> B tale che F(a)=a per ogni a elemento di A e F(x_i)=b_i, si vede che A[b₁, ..., b_n] è l'immagine di F, pertanto è costituito da tutti i polinomi in x₁, ..., x_n a coefficienti in A valutati in b₁, ..., b_n.
  Estensione di campi. Se L è un campo, K è un sottocampo e se b₁, ..., b_n sono elementi di L, con K(b₁, ..., b_n) si indica il più piccolo campo che contiene K e gli elementi b₁, ..., b_n. Si vede che K(b₁, ..., b_n)= Q(K[b₁, ..., b_n]) L è un'estensione finitamente generata di K se L è della forma K(b₁, ..., b_n) (con b₁, ..., b_n elementi di L). In particolare, se n=1, l'estensione di dice semplice. Esempi. Se L è un campo e K è un sottocampo di L, allora un alemento a di L si dice algebrico su K se esiste un polinomio f in K[x] non nullo, tale che f(a)=0. Se a non è algebrico, allora a si dice trascendente (su K).
• Lezione 20: Se a è un elemento di un campo L ed è algebrico su un campo K, allora il polinomio monico di grado minimo possibile a coefficienti in K[x] che si annulla in a, si dice polinomio minimo di a (su K). Il polinomio minimo m(x) di a si può vedere anche considerando l'omomorfismo di valutazione F: K[x] --> L (cioè tale che F(u) = u, se u è in K e F(x)=a), infatti succede che Ker(F) è è un ideale di K[x] generato proprio da m(x). Inoltre, dal teorema di omomorfismo, si ha che K[x]/(m) è, isomorfo a K[a]. Si prova poi che il polinomio minimo m è irriducibile, quindi l'ideale (m) è primo e anche massimale, quindi K[x]/(m) è un campo, pertanto K[a] = K(a) è un campo. Estensione di campi. La notazione L:K. Grado di un'estensione: se L è un'estensione del campo K, allora L è uno spazio vettoriale su K. Con [L:K] si indica la dimensione di L come K-spazio vettoriale. Se [L:K]=n, si dice che l'estensione è di grado n.
• Lezione 21: Data l'estensione L:K, sia a un elemento di L, algebrico su K. Allora vale: [K[a]:K] = n, dove n è il grado del polinomio minimo di a su K. Se in un'estensone L:K ogni elemento di L è algebrico su K, l'estensione si dice algebrica. Se vale: [L:K]= n, allora L è un'estensione algebrica di K. Legge della torre: se L : K e M : L sono due estensioni, allora vale: [M : K] = [M : L][L : K]. Dato un polinomio f irriducibile su un campo K, esiste un campo L che estende K e tale che f ammette uno zero in L (il campo L è definito da K[x]/(f) e lo zero di f è la classe di equivalenza di x in K[x]/(f)). Campo di riducibilità completa (o di spezzamento) di un polinomio di K[x]: è il più piccolo campo che contiene K e in cui f si spezza in un prodotto di fattori lineari. Se f è un qualunque polinomio di K[x], esiste sempre il campo di riducibilità completa per f (si prova per induzione sul grado di f: si scrive f come prodotto di fattori irriducibili; allora, per il risultato precedente, esiste un campo L dove uno dei fattori irriducibili di f ammette uno zero. Quindi in L[x] il polinomio f si spezza nel prodotto di un polinomio lineare e un polinomio g di grado più piccolo del grado di f. Si procede analogamente con g).
• Lezione 22: Il Campo dei numeri complessi, visto come il quoziente R[x]/(x²+1). Ancora sulle estensioni di campi. Campi finiti. Se K è un campo finito, allora ha pⁿ elementi, dove p è la caratteristica ed n è un numero naturale. Questo segue dal fatto che K contiene Z_p ed è uno spazio vettoriale su Z_p . Il teorema dell'elemento primitivo: Se K è un campo finito, allora il gruppo K\{0} rispetto al prodotto è un gruppo ciclico.
• Lezione 23: Ancora sui campi finiti. Ogni campo finito è della forma Z_p[x]/(q) dove q è un polinomio irriducibile. Dati p primo ed n numero naturale, esiste sempre un campo finito con pⁿ elementi (si costruisce considerando il campo di riducibilità completa di x^m-1, dove m = pⁿ. Dati due campi finiti con lo stesso numero di elementi, sono isomorfi. Pertanto per ogni p ed n esiste un unico campo finito con pⁿ elementi. Esso si chiama campo di Galois e si indica con GF(p, n).

Vai al vecchio sito del corso di Algebra.