Diario delle lezioni 2023-24

• Lezione 1. (26 sett. 23) Introduzione al corso. Richiami sulle relazioni di equivalenza, sui gruppi, sottogruppi, le classi laterali, teorema di Lagrange.
• Lezione 2. (28 sett. 23) Sottogruppi normali. Il quoziente. Teoremi di omomorfismo, i sottogruppi di Z. Gruppi ciclici e loro classificazione. Definizione di anello (commutativo, commutativo unitario). Ideali in un anello. Quoziente di un anello rispetto ad un ideale.
• Lezione 3. (3 ott. 23) Anelli, ideali, gli anelli Z_m. La divisione in Z. Elementi unitari e invertibili in un anello. Dominio d'integrità. Elementi associati in un anello. Il massimo comun divisore in un dominio. Il massimo comun divisore in Z e identità di Bezout. Il gruppo U_m delle unità di Z_m. La funzione di Eulero.
• Lezione 4. (5 ott. 23) Le congruenze e loro principali proprietà. Il teorema di Eulero e il piccolo teorema di Fermat. Esempi. Cenno alla verifica della primalità di un numero. Il teorema cinese dei resti (due formulazioni).
• Lezione 5. (10 ott. 23) Gruppi finiti. Gruppi ciclici e gruppi di permutazioni. Il teorema di Cayley. Il problema di invertire il teorema di Lagrange. Il teorema di Cauchy per gruppi abeliani. Nei gruppi abeliani il teorema di Lagrange si può invertire.
• Lezione 6. (12 ott. 23) I gruppi diedrali. I tre teoremi di Sylow (solo enunciati) e alcune conseguenze. A meno di isomorfismi, esistono due soli gruppi di ordine 6. Altri esempi ed esercizi.
• Lezione 7. (17 ott. 23) Anello dei polinomi. Costruzione e prime proprietà. Correzione di alcuni esercizi.
• Lezione 8. (19 ott. 23) Ancora sull'anello dei polinomi. Grado di un polinomio, principio di identità dei polinomi. Il teorema di unicità di estensione di un omomorfismo. Divisione tra polinomi. Teorema di Ruffini e teorema di d'Alambert.
• Lezione 9. (24 ott. 23) Identità di Bezout nell'anello dei polinomi. Elementi primi e irriducibili in un anello. Un elemento primo è sempre irriducibile. Nell'anello degli interi e nell'anello dei polinomi con coefficienti in un campo, irriducibile implica primo. Definzione di dominio a fattorizzazione unica. L'anello degli interi è un dominio a fattorizzazione unica.
• Lezione 10. (26 ott. 23) L'anello dei polinomi con coefficienti in un campo è un dominio a fattorizzazione unica. Polinomi irriducibili in K[x]: esempi. Il teorema fondamentale dell'algebra. Gli unici polinomi irriducibili di C[x] sono i polinomi di grado 1. I polinomi irriducibili di R[x] sono quelli di grado 1 e di grado 2 con discriminante negativo. Polinomi primitivi in Q[x]. Prodotto di primitivi è primitivo.
• Lezione 11. (31 ott. 23) Il lemma di Gauss. Polinomi irriducibili in Z[x] e in Q[x]. L'anello dei polinomi Z[x] è un dominio a fattorizzazione unica. Ricerca di fattori di polinomi in Z[x] (e in Q[x]): fattori lineari. Il criterio di Eisenstein.
• Lezione 12. (7 nov. 23) Ancora sul criterio di Eisenstein. Caratteristica di un anello. Un dominio di integrità ha caratteristica 0 o un numero primo. La formula (a+b)^p= a^p+b^p in un anello di caratteristica p. Discussione metodo di Kronecker per la fattorizzazione di polinomi a coefficienti interi.
• Lezione 13. (9 nov. 23) L'omomorfismo di Frobenius. Definizione di campo perfetto (cioè un campo di caratteristica p tale che ogni elemento ammette radici p-ime). Primi esempi di campi di caratteristica p perfetti (i.e. i campi Z_p). Un campo finito è perfetto. Derivato di un polinomio. Proprietà del derivato. Un polinomio con derivato zero in un campo di caratteristica zero è costante. Se invece il campo è di caratteristica p ed è perfetto, allora è la potenza p-ima di un opportuno polinomio. Ancora discussione sul metodo di fattorizzazione di Kronecker.
• Lezione 14. (14 nov. 23) Un polinomio su un campo K di caratteristrica zero o di caratteristica p e perfetto è privo di fattori multipli se e solo se il mcd con il suo derivato è invertibile. I quozienti dell'anello dei polinomi K[x] (con K campo). Esempi. K[x]/(f) è un K spazio vettoriale di dimensione il grado di f.
• Lezione 15. (16 nov. 23) Ancora sull'anello K[x]/(f) ed esempi. Costruzione di elementi invertibili e divisori dello zero in K[x]/(f). Congruenze tra polinomi. Il teorema cinese dei resti per l'anello dei polinomi. Conseguenza: Dati n+1 elementi in un campo K a due a due distinti e dati altri n+1 elementi di K, esiste un unico polinomio di grado al massimo n che valutato sui primi elementi assume il valore dei secondi.
• Lezione 16. (21 nov. 23) tL'algoritmo di B erlekamp per la fattorizzazione di polinomi in Z[x]. Il primo teorema di Berlekamp. Esempi. Dato un polinomio f di grado d, come costruire un polinomio g di grado minore di d e tale che f divida g^p-g.
• Lezione 17. (23 nov 23) Ancora sull'algoritmo di Berlekamp. Il secondo teorema di Berlekamp (costruzione della matrice Q dei resti delle divisioni di x^jp per un polinomio f da fattorizzare) e il terzo teorema di Berlekamp (che fornisce informazioni sul numero di fattori irriducibili di un polinomio di Z[x]. Esempi.
• Lezione 18. (28 nov. 23) Ancora osservazioni sul metodo di fattorizzazione di Berlekamp. Polinomi in più variabili: definizione e proprietè. Grado di un polinomio in n variabli. Principio di identità dei polinomi, se l'anello dei coefficienti è un dominio d'integrità (un UFD), allora l'anello dei polinomi in n variabili è anche un dominio d'integrità (un UFD). Il teorema di estensione per polimoni in più variabili.
• Lezione 19. (30 nov. 23) Ideali di un anello generati da un insieme. Ideali finitamente generati e ideali principali. Ideali primi e massimali in un anello. Esempi di anelli primi e massimali in $K[x_1, \dots, x_n]$.
• Lezione 20. (5 dic. 23) Dati due anelli A e B (con il primo sottoanello del secondo, costruzione del più piccolo anello che contiene A e un numero finito di elementi di B. Estensione di campi. Grado di un'estensione. Dati due campi K e L (con il primo sottocampo del secondo), costruzione del più piccolo campo che contiene K e un numero finito di elementi di L. Definizione di elemento algebrico e trascendente. Polinomio minimo. Esempi. Se a è algebrico su un campo K, allora K[a] = K(a).
• Lezione 21. (7 dic. 23) Proprietà del polinomio minimo: è irriducibile. Se un polinomio irriducibile in K si annulla in un elemento di L ed è monico, allora quel polinomio è il polinomio minimo dell'elemento. Estensioni algebriche. Grado di un'estensione. Se un'estensone ha grado finito, allora è algebrica. Teorema della torre. Dato un polinomio irriducibile f su un campo K, costruzione di un campo L, estensione di K che contiene una radice di f. Costruzione del campo dei numeri complessi.
• Lezione 22. (12 dic. 23) Campo di riducibilità completa di un polinomio. Costruzione del campo C. Esempi. Prime nozioni sui campi finiti. Un campo finito ha pⁿ elementi. Teorema dell'elemento primitivo: il gruppo moltiplicativo formato dagli elementi non nulli di un campo finito è ciclico.
• Lezione 23. (14 dic. 23) Esempi di elementi primitivi. Un campo finito è sempre isomorfo a Z_p[x] quozientato su un polinomio irriducibile. Dati un numero primo p e un numero naturale n, esiste sempre un campo finito con pⁿ elementi. Esempi ed esercizi.
• Lezione 24. (19 dic. 23) Due campi finiti con lo stesso numero di elementi sono tra loro isomorfi. Esempi ed esercizi.
• Lezione 25. (21 dic. 23) Discussione e correzione esercizi.
• Lezione 26. (9 gen. 24) Discussione e correzione esercizi.
• Lezione 27. (11 gen. 24) Discussione e correzione esercizi.