Registrazione delle lezioni (a.a. 2020/21)

• Lezione 1. Introduzione al corso. Richiami sui gruppi. Gruppi di permutazioni, sottogruppi, laterali di un sottogruppo, sottogruppi normali, gruppo quoziente. Gruppo delle permutazioni. Teorema di Lagrange.
  Video 1A; Video 1B
• Lezione 2. Ancora sui sottogruppi normali. Esempi. Gruppi ciclici. Omomorfismi di gruppi. Teoremi di omomorfismo per gruppi.
  Video 2A; Video 2B
• Lezione 3. Anelli, ideali, anelli quoziente. Omomorfismo di anelli. Teoremi di omomorfismo per anelli. Legge del doppio quoziente. Ideali generati da un insieme, ideali finitamente generati, ideali principali. Divisione tra interi.
  Video 3 A; Video 3 B
• Lezione 4. Elementi invertibili in un anello. Elementi associati. Il gruppo U_m degli elementi invertibili di Z_m. Funzione di Eulero. Massimo comun divisore in un dominio e in Z. Unicità del massimo comun divisore (a meno di associati). Algoritmo di Euclide per il calcolo del massimo comun divisore negli interi. Identità di Bezout.
  Video 4 A; Video 4 B; Video 4 C
• Lezione 5. Il teorema di Eulero: dato un numero naturale m e un numero intero a primo con m, il numero a elevato al valore della funzione di Eulero calcolata in m è congruo ad 1 modulo m. Piccolo teorema di Fermat. Alcune conseguenze del piccolo teorema di Fermat. Teorema cinese dei resti: studio delle soluzioni di un sistema di congruenze. Conseguenza: se m₁, ..., m_n sono numeri naturali a due a due coprimi, allora Z_m è isomorfo al prodotto Z_{m_1}x ... x Z_{m_n}, dove m è il prodotto degli m_i. Gruppi finiti. Problema: quando si può invertire il teorema di Lagrange? Il caso dei gruppi ciclici.
  Video 5 A; Video 5 B
• Lezione 6. Il teorema di Cauchy: se p divide l'ordine di un gruppo abeliano finito, allora il gruppo contiene un elemento di ordine p. In un gruppo abeliano G ci sono sottogruppi di ordine m per ogni divisore m dell'ordine del gruppo G. Definizione di p-gruppo. Definizione di p-gruppi di Sylow. I tre teoremi di Sylow e alcune conseguenze. Esempio: tutti i sottogruppi del gruppo di permutazioni S₄. Primi cenni sulla costruzione dell'anello dei polinomi. Dato un anello A, si costruisce l'insieme B delle sequenze (con elementi quasi tutti nulli) di elementi di A, cioè l'insieme delle applicazioni dai numeri naturali in A (che sono quasi sempre nulle sugli elementi di A). Su B si può definire una somma in modo naturale che lo rende gruppo abeliano.
  Video 6 A; Video 6 B
• Lezione 7. Costruzione dell'anello dei polinomi. Definizione di prodotto sull'insieme B definito nella precedente lezione (prodotto di Cauchy). Con tale prodotto B diventa un anello commutativo unitario che estende l'anello A. Definizione della x (come la sequenza (0, 1, 0, 0, ...)). Un elemento di B si può scrivere in forma di polinomio (nella variabile x). B viene definito l'anello dei polinomi e si indica con A[x]. Grado di un polinomio. Grado del prodotto di due polinomi. Se A è un dominio d'integrità, allora A[x] è anche un dominio d'integrità. Estensione di un omomorfismo tra due anelli A e B ad un omomorfismo tra A[x] e B che manda x in un elemento b di B fissato. Omomorfismo di valutazione. Divisione tra polinomi. Video 7 A; Video 7 B
• Lezione 8. Per un ennesimo malfunzionamento di Microsoft Teams, non e' stato possibile video registrare la lezione. Qui si trovano le registrazioni sonore: Parte 1 e Parte 2.
  Per quanto riguarda questa lezione, non essendo stato possibile registrare il video, ecco qui degli appunti scritti.
• Lezione 9. Nell'anello degli interi e nell'anello dei polinomi in una variabile a coefficienti su un campo, le nozioni di irridubicile e primo coincidono. Teorema fondamentale dell'aritmetica. L'anello degli interi è un UFD. L'anello dei polinomi in una variabile su un campo è un UFD. Polinomi invertibili e irriducibili in K[x]: tutti e soli i plinomi invertibili sono le costanti non nulle. Tutti i polinomi di grado 1 sono irriducibili. Il teorema fondamentale dell'algebra implica che in C[x] i polinomi irriducibili sono tutti e soli i polinomi di grado 1. Cenno alla dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra.
  Video 9 A; Video 9 B
• Lezione 10. Polinomi irriducibili in C[x], in R[x] (tutti e soli quelli di grado 1 e di grado 2 con discriminante negativo), polinomi in Q[x], polinomi primitivi, lemma di Gauss, passaggio dai polinomi di Q[x] ai polinomi di Z[x]. Fattorizzare polinomi (di grado positivo) in Q[x] e in Z[x] è essenzialmente la stessa cosa. L'anello dei polinomi Z[x] è un UFD. La stessa costruzione si può fare per provare che se A è un UFD, allora A[x] è un UFD. Come trovare se un polinomio di Q[x] ha fattori lineari.
  Video 10 A; Video 10 B; Video 10 C.
  
• Lezione 11. Criterio per trovare se ci sono fattori lineari di un polinomio in Z[x] (e in Q[x]) (i coefficienti del fattore lineare vanno ricercati tra i divisori del termine noto e del termine direttivo del polinomio). Criterio di irriducibilità di Eisenstein. Conseguenza: in Q[x] esistono infiniti polinomi irriducibili e addirittura infiniti polinomi irriducibili in ogni grado. Fattorizzare in Z_p[x] si può fare in un numero finito di passi. Esercizi ed esempi. Il criterio di Kronecker per fattorizzare polinomi in Z[x]. Conseguenza: in Z[x] si può fattorizzare un qualunque polinomio in un numero finito di passi. Appunti sul metodo di Kronecker. La caratteristica di un anello (commutativo, unitario).
  Video 11
• Lezione 12. Ancora sulla caratteristica di un anello. Significato di na (con n intero e a un elemento di A). In un dominio la caratteristica o è 0 o è un numero primo. L'omomorfismo di Frobenius. Definizione di campo perfetto (un campo di caratteristica p dove esistono le radici p-ime di ogni elemento del campo). In un campo perfetto, l'omomorfismo di Frobenius è un isomorfismo (automorfismo di Frobenius). Un campo finito è un campo perfetto. Il derivato di un polinomio. Polinomi con derivato nullo (in caratteristica 0 sono costanti, in un campo perfetto di caratteristica p è la p-ima potenza di un polinomio). Se K è un campo o di caratteristica 0 o di caratteristica p perfetto, allora un polinomio ha fattori multipli se e solo se il massimo comun divisore tra il polinomio e il suo derivato non è invertibile.
  Video 12 A; Video 12 B
• Lezione 13. Discussione esercizi. Lezione non registrata. Esercizi trattati: la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado vale anche in K[x]? Quanti elementi di Z_p hanno radice quadrata? (problema dei residui quadratici). Dal fatto che non tutti gli elementi di Z_p hanno radice quadrata, si deduce che in Z_p[x] ci sono polinomi di grado 2 irriducibili. Quanti sono i polinomi monici di grado 2 in Z₃[x]? Quanti polinomi monici di grado 2 in Z_p[x] sono riducibili? Quanti sono irriducibili? (esistenza di una formula generale per ottenere tutti i polinomi monici irriducibili di Z_p[x]). Discussione della possibilità di decidere se un polinomio è irriducibile in Z[x] quando si sa che è irriducibile in Z_p[x].
  Appunti tratti dalla lezione.
• Lezione 14. Ancora alcune proprietà della caratteristica di un anello. Anello dei polinomi: nell'anello dei polinomi un ideale è primo se e solo se è massimale. Proprietà dell'anello dei polinomi quozientato su un ideale: K[x]/(f) è uno spazio vettoriale su K di dimensione n, dove n è il grado di f. Una sua base è data da [1], [x], ..., [x]^n-1. Teorema cinese dei resti per polinomi. In particolare, data una lista di r elementi di K a due a due distinti e data un'altra lista di r elementi sempre di K, esiste un unico polinomio, di grado minore di r, che valutato su ciascuno degli elementi della prima lista dà per risultato il corrispondente elemento della seconda lista. Premesse per arrivare all'algoritmo di Berlekamp.
  Video 14 A; Video 14 B.
• Lezione 15. Il primo e il secondo teorema di Berlekamp. Qui si trovano alcune note relative all'argomento.
  Video 15 A; Video 15 B.
• Lezione 16. Discussione esercizi. Lezione non registrata. Premessa agli esercizi, relativa alle proprietà dell'anello quoziente di un anello di polinomi ed elenco esercizi proposti.
  Appunti scritti durante la lezione.
• Lezione 17. Il terzo teorema di Berlekamp (v. note della lezione 15)
  Video 17 A; Video 17 B.
• Lezione 18. Cenno su come fattorizzare polinomi in Z[x] usando Berlekamp e il metodo di sollevamento di Hensel. Polinomi in più variabili. Loro costruzione (per induzione). Rappresentazione di un polinomio in più variabili (come somma di monomi o combinazione lineare di termini). Grado globale e grado relativo ad una variabile. Se K è un campo, K[x₁, ..., x_n] è un UFD. Teorema di esitenza e unicità dell'estensione di un omomorfismo. Ideali in K[x₁, ..., x_n].
  Video 18 A; Video 18 B.
• Lezione 19. Discussione esercizi. Cenno sulla possibilità di fattorizzare polinomi in più variabili utilizzando metodi di fattorizzazione di polinomi in una sola variabile.
• Lezione 20. Esempi di ideali primi e massimali in anelli di polinomi in più variabili. Ideali della forma (x₁-a₁, ..., x_n-a_n) sono ideali massimali. Un modo per provarlo utilizza il teorema di estensione di un omomorfismo da K[x₁, ..., x_n] in K che estende l'identità su K e manda x_i in a_i. Cenno al viceversa (teorema degli zeri di Hilbert). Utilizzo della legge del doppio quoziente per manipolare ideali nell'anello dei polinomi.
  Video 20 A; Video 20 B.
• Lezione 21. Dato un anello B, un suo sottoanello A e n elementi a₁, ..., a_n definizione del più piccolo sotto anello di B che contiene A e gli elementi dati: l'anello A[a₁, ..., a_n]. Il suo legame con l'anello dei polinomi A[x₁, ..., x_n]. Estensione di campi. Il più piccolo campo che contiene un sottocampo dato e alcuni elementi fissati. Elementi algebrici e trascendenti. Il polinomio minimo di un elemento algebrico (su un campo K). Sua irriducibilità Se a è algebrico su K, allora K[a] = K(a). Esempi.
  Video 21 A; Video 21 B.
• Lezione 22. Ancora sugli elementi algebrici e sul polinomio minimo. Ampliamenti algebrici. Esempi. Estensioni di campi. Grado di un'estensione. Estensioni di grado finito sono algebriche. Costruzione del campo dei complessi come quoziente di R[x]/(x²+1).
  Video 22 A; Video 22 B.
• Lezione 23. Il teorema della torre (il grado di un'estesione di un campo M su un campo K è uguale al prodotto del grado di M su L per il grado di L su K, dove L è un campo intermedio). Esempi. Campo di riducibilità completa (o di spezzamento) di un polinomio. Primi risultati sui campi finiti. Un campo finito ha pⁿ elementi, dove p è la caratteristica del campo (necessariamente un numero primo).
  Video 23 A; Video 23 B.
• Lezione 24. Correzione esercizi.
• Lezione 25. Il teorema dell'elemento primitivo: in un campo finito il gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili è ciclico. Esempi. Come conseguenza del teorema dell'elemento primitivo si prova che ogni campo finito è quoziente dell'anello di polinomi Z[x] su un ideale (q) con q irriducibile.
  Video 25 A; Video 25 B.
• Lezione 26. Campi finiti. Dato p primo ed un numero naturale n esiste sempre un campo con pⁿ elementi. Due campi finiti con lo stesso numero di elementi sono isomorfi. Pertanto esiste un unico campo finito con pⁿ elementi che si chiama campo di Galois e si indica con GF(n, p). Esempi ed esercizi.
  Video 26 A; Video 26 B.
• Lezione 27. Correzione esercizi.
• Lezione 28. Correzione esercizi.
• Lezione 29. Correzione esercizi.
• Lezione 30. Correzione esercizi.