Facoltà di Scienze Matematiche,
Fisiche e Naturali
Corso di Laurea Magistrale in Matematica
Anno accademico 2010/2011
Programma del corso di
Equazioni Differenziali
tenuto dal Prof. Alessandro Fonda
1. Alcune premesse sugli spazi di Hilbert
Lo spazio di Hilbert. Alcuni esempi di spazi di Hilbert.
Proprietà fondamentali. Sottospazi. Sottospazi ortogonali. la
proiezione ortogonale. Basi di uno spazio di Hilbert. Applicazioni
lineari tra spazi di Hilbert.
2. Operatori in spazi di Hilbert
Definizioni e prime proprietà. L'operatore aggiunto. Insieme
risolvente e spettro. Operatori autoaggiunti. Operatori in spazi di
Hilbert reali.
3. Introduzione al problema semi-lineare
Il problema periodico. Proprietà dell'operatore differenziale.
L'equazione lineare. Il teorema delle contrazioni. Nonrisonanza:
esistenza e unicità. Equazioni in spazi di Hilbert.
4. Il grado topologico
Il grado di Brouwer: esistenza e unicità. Il grado di Leray-Schauder.
5. Nonrisonanza e grado topologico
L'uso del Teorema di Schauder. Sotto-soluzioni e sopra-soluzioni.
Il principio di continuazione. Oscillatori asimmetrici. Non risonanza
nonlineare. Condizioni non bilaterali. Il problema di Ambrosetti -
Prodi.
6. Giocando attorno alla risonanza
La disuguaglianza di Wirtinger. Condizioni di Landesman - Lazer per
l'oscillatore simmetrico. Risonanza con il primo autovalore e con gli
autovalori successivi. Condizioni di Landesman - Lazer per
l'oscillatore asimmetrico.
Argomenti aggiuntivi:
7. Il metodo variazionale
Definizione del funzionale. Minimizzazione. Il principio di
Ekeland. La ricerca dei punti di sella. Il teorema del passo di
montagna.
8. Di nuovo in risonanza
Risonanza con il primo autovalore e con gli
autovalori successivi. La condizione di Ahmad-Lazer-Paul. Nonlinearità periodiche: l'equazione del pendolo forzato.
TESTI CONSIGLIATI:
1. M. Spivak,
"Calculus on manifolds", Ed. Benjamin, Amsterdam, 1965.
2. G. Helmberg,
"Spectral theory in Hilbert space"
, Ed. North-Holland, Amsterdam, 1969
3. J. Von
Neumann, "Mathematical foundations of quantum mechanics", Princeton Univ.
Press, 1983.
4. N. G. Lloyd, "Degree theory", Cambridge Univ. Press, 1978.
5. J. Mawhin e M. Willem,
"Critical point theory and Hamiltonian systems", Springer, Heidelberg,
1989.