Università degli Studi di Trieste

Corso di Studi in Matematica

Anno accademico 2017/2018

Programma provvisorio del corso di

Modelli - parte A

tenuto dal Prof. Alessandro Fonda

Parte 1 - Lancio di un oggetto in campo gravitazionale.

La prima parte del corso è iniziata con lo studio della traiettoria di un corpo lanciato a una quota bassa sulla superficie terrestre. In assenza di attrito dell'aria, si trova una parabola, ma le cose si complicano quando si tiene conto di tale resistenza. Si sono poi confrontati i risultati teorici con dati reali sui lanci nello sport, o sul salto in lungo, osservando che la muscolatura del corpo umano porta a prediligere angolazioni alquanto diverse da quelle teoricamente ottimali. Infine, si è accennato all'effetto Magnus, che viene utilizzato ad esempio nel golf per ottenere traiettorie di lancio più rettilinee, con angoli di partenza piuttosto bassi.

Si è poi passati a studiare il moto in un campo gravitazionale di tipo Newtoniano, ricavando le tre Leggi di Keplero e mostrando come la parabola trovata all'inizio del corso altro non è che l'approssimazione di un'ellisse. Si sono determinate le velocità di rotazione di vari tipi di satellite, utilizzando la manovra di trasferimento alla Hohmann per passare da un'orbita all'altra. Infine, si è analizzato il viaggio dell'Apollo 11 che, nel luglio 1969, ha portato i primi uomini sulla Luna.

Parte 2 - Dinamica delle popolazioni.

Nella seconda parte del corso ci siamo occupati di modelli di crescita di popolazioni. In una prima lezione abbiamo analizzato il caso di un'unica specie che si riproduce seguendo il modello di Malthus o quello di Verhulst, accennando a diverse varianti che possono prendere in considerazione effetti di ritardo o di carattere stagionale. La seconda lezione ha trattato il problema dell'interazione di due o più specie. Si sono esaminati il modello preda-predatore di Lotka-Volterra, un modello di due specie in competizione e il caso di due specie in simbiosi. Per quanto riguarda i modelli di interazione di più specie, si è accennato al fatto che possono presentare dinamiche estremamente complesse, portando talvolta a fenomeni di tipo caotico. Nella terza lezione si è affrontato il fenomeno della diffusione sul territorio. In particolare, si è dimostrata l'esistenza di soluzioni di tipo "traveling waves" per un'equazione alle derivate parziali con termine nonlineare di tipo logistico. Infine, il Professor Alessandro Logar ha illustrato vari modelli discreti, concludendo con la presentazione di un software per un modello di tipo preda-predatore, con diffusione discreta in un ambiente limitato.

Parte 3 - Dinamica dei ponti sospesi.

In questa parte del corso abbiamo affrontato un modello non lineare di ponte sospeso. Dopo aver visualizzato il crollo del ponte di Tacoma avvenuto nel 1940, si è riflettuto sul concetto di risonanza, richiamando la teoria degli oscillatori armonici forzati periodicamente. Si sono analizzate alcune analogie con gli oscillatori asimmetrici, introducendo lo spettro di Fucik ed enunciando i risultati più attuali, nonché alcuni problemi ancora aperti. Si è poi introdotto un modello di ponte sospeso in cui si tenga conto del fatto che le funi possano allentarsi qualora il ponte si sollevi al di sopra di una certa altezza. Questo modello, assieme alle sue generalizzazioni nell'ambito delle equazioni alle derivate parziali, è ancora in fase di studio: si è dimostrata l'esistenza di soluzioni periodiche di tipo subarmonico, ma poco si conosce sulla dinamica globale delle soluzioni. In particolare, non è ancora chiara la dinamica che ha portato al collasso del ponte di Tacoma, dovuto a un improvviso cambiamento della natura delle oscillazioni, da verticali a torsionali.

Parte 4 - L'equazione del pendolo

Abbiamo analizzato le soluzioni dell'equasione differenziale del pendolo matematico, nel piano delle fasi. E` stato presentato il risultato di esistenza di soluzioni periodiche dovuto a Mawhin e Willem, in presenza di un termine forzante periodico di media nulla. Studiando poi il problema della barra elastica soggetta a compressione, abbiamo ritrovato la stessa equazione. Questa volta abbiamo analizzato il numero di soluzioni soddisfacenti alla condizione ai limiti di Neumann, ricavando il relativo diagramma di biforcazione.