Analisi Reale A programma
Universit`a degli Studi di Trieste Corsi di Studi in Matematica e Fisica Insegnamento di Analisi Reale e Complessa - Modulo A
A.A. 2020/2021 Proff. Enzo Mitidieri e Eva Sincich

Teoria della misura: Algebre e sigma-algebre di insiemi. Spazi di misura. Misure finite e sigma-finite. Misure complete, completamento di una misura. Nozione di misura esterna. Sigma-algebra degli insiemi misurabili e misura generata dalla misura esterna. Misura esterna di Lebesgue su Rn e misura di Lebesgue. Caratterizzazione degli insiemi misurabili. Insieme di Vitali. Insieme di Cantor e funzione di Cantor - Vitali. La σ-algebra dei Boreliani non `e completa.
Integrale di Lebesgue: Funzioni misurabili. Funzioni semplici. Convergenza quasi ovunque e convergenza quasi uniforme. Teorema di Egorov-Severini. Convergenza in misura e convergenza alla Cauchy in misura. Approssimazione in misura di funzioni misurabili su Rn con funzioni a scalino e continue. Teorema di Lusin. Integrale per funzioni semplici e per funzioni nonnegative misurabili.
Teorema di Beppo Levi (della convergenza monotona) e sue conseguenze. Lemma di Fatou. Integrale di funzioni di segno variabile. Teorema di convergenza dominata di Lebesgue e sue conseguenze. Assoluta continuit`a dell’integrale. Teorema di derivazione sotto il segno di integrale. Confronto tra integrale di Lebesgue sulla retta e integrale di Riemann. Integrali impropri e integrale di Lebesgue.
Spazi Lp - Differenziazione e Integrazione: Disuguaglianze di Young, H ̈older, Minkowsky. Convergenza in Lp e convergenza in misura. Densit`a in Lp delle funzioni semplici nulle fuori da insiemi di misura finita. Caratterizzazione duale della norma Lp, varie versioni. Disuguaglianza di Chebishev. Completezza degli spazi Lp (teorema di Riesz-Fisher). Separabilit`a di Lp e non separabilia' di L∞ . Differenziazione. La funzione massimale M f . Semicontinuit`a della funzione massimale. La funzione massimale Mf non appartiene a L1loc. Spazio L1w. Il teorema di Hardy- Littlewood: la funzione massimale Mf appartiene a L1w. Il teorema di differenziazione di Lebesgue- Besicovitch. Misure con segno. Il teorema di decomposizione di Hahn. Decomposizione di Jordan per misure con segno. Il teorema di Radon-Nikodym. Il teorema di decomposizione di Lebesgue. Il teorema di rappresentazione di Riesz per funzionali lineari continui su Lp. Costruzione di misure prodotto. Misura prodotto su Rn × Rm. Teorema di Fubini -Tonelli. Testi di supporto:


1. H. L. Royden, Real Analysis, MacMillan, 1968 ; 2. A. Tesei, Istituzioni di Analisi Superiore, Bollati Boringhieri, 1997 ; 3. W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1987 ; 4. R. L. Wheeden, A. Zygmund, Measure and Integral, M. Dekker,1977 ; 5. E.H. Lieb, M. Loss, Analysis, American Mathematical Society, 1997.