It is surprising how many people think that analysis consists in the difficult proofs of obvious theorems. All we need to know, they say, is what a limit is, the definitions of continuity and the definition of the derivative. All the rest is "intuitively clear".
from "A companion to Analysis", Thomas William Körner
I semestre
Università degli Studi di Trieste - Facoltà di Ingegneria.
Programma del corso di Analisi Matematica I (9 CFU) A.A. 2020-2021
Numeri reali.
Numeri reali. Proprieta` algebriche dei numeri reali: R `e un corpo commutativo. Proprieta` d’ordine dei numeri reali: R `e un corpo commutativo totalmente ordinato. L’ insieme N dei numeri naturali. Principio d’induzione e applicazioni. Permutazioni. Il fattoriale.Combinazioni. Coefficienti binomiali. La formula di Newton per lo sviluppo del binomio. L’insieme Z dei numeri interi relativi. L’insieme Q dei numeri razionali. La retta reale. Insufficienza dei numeri razionali. L’equazione x2 = 2 non ha soluzioni razionali. Classi separate e classi contigue. Propriet`a di continuita` (di Dedekind) dell’insieme dei numeri reali: R `e un corpo commutativo totalmente ordinato e completo. Q non `e completo. Limitazioni inferiori e superiori. Massimo e minimo. Estremo superiore e inferiore. Teorema di esistenza dell’estremo superiore. Proprieta` caratteristiche dell’estremo superiore e inferiore. Gli intervalli in R . Valore assoluto e sue proprieta`. Proprieta` di Archimede.Approssimazione dei numeri reali mediante i numeri razionali. Densit`a di Q in R .
Zeri di funzioni. Studio dell’equazione xn = a > 0 con n > 2 in R. La radice n-esima in R. Zeri di un polinomio, permanenza del segno per un polinomio. Funzioni Lipschitziane ed Ho ̈lderiane. Sub-additivita` della somma con esponente p positivo e minore di uno. Teorema di Bolzano (degli zeri per una funzione avente la proprieta` di permanenza del segno). Radici n-esime di numeri reali positivi.
Lo spazio Rn : prodotto scalare, norma, distanza. Cenni di topologia sull’insieme dei numeri reali. Intorni, insiemi aperti e chiusi. Punti di accumulazione e di chiusura. Frontiera di un insieme. Insieme derivato e caratterizzazione degli insiemi chiusi tramite il derivato. Il teorema di Bolzano- Weierstrass.
Spazi metrici (cenni): intorni, insiemi aperti, insiemi chiusi. Interno, chiusura 1
e frontiera di un insieme in uno spazio metrico.
Successioni e limiti. Limiti di successioni: il massimo e minimo limite etc. Successioni di numeri reali. Definizione di limite di una successione, casi particolari di limiti finiti e successioni divergenti. Sottosuccessioni. Prime proprieta’ dei limiti: unicit`a, permanenza del segno. Il massimo e minimo limite di una successione. Caratterizzazione del massimo e minimo limite. Proprieta`. Esempi e controesempi. Teorema del confronto e dei due Carabinieri. Operazioni con i limiti. Teorema sul limite delle successioni monotone. Il limite fondamentale lim(1 + 1/n)n e il lim- ite fondamentale limsin(xn)/xn per xn → 0. Caratterizzazione dei chiusi tramite le successioni. Successioni e sottosuccessioni convergenti. La compattezza sequen-
ziale. Teorema di Weierstrass sulle successioni. Sottoinsiemi compatti di R e loro caratterizzazione. Successioni di Cauchy. Esempi. Ogni successione di Cauchy e'
limitata. Completezza di R (ogni successione di Cauchy `e convergente). Esempi e controesempi. Limiti per funzioni. uniformemente continue e continue. Funzioni tra spazi metrici. Limite di una funzione tra spazi metrici. Operazioni con i limiti. Formula di cambiamento di variabile. Teo-rema dei due carabinieri. Limiti delle restrizioni: limite destro e sinistro. Funzioni monotone. Limiti notevoli. Funzioni Lipschitziane, Ho ̈lderiane. Uniforme continuita`. Caratterizzazione delle funzioni uniformemente continue.
Funzioni continue. Tre modi per caratterizzare le funzioni continue. Esempi e controesempi. Alcune funzioni Lipschitziane, H ̈olderiane notevoli. Somma, differenza, prodotto, quoziente, composizione di funzioni continue. Il teorema della permanenza del segno per funzioni continue. Il teorema degli zeri. Altri teoremi fondamentali sulle funzioni continue. Continuit`a della funzione inversa. Potenze di base reale ed esponente intero e razionale. Potenze con esponente reale. Funzione esponenziale e funzione logaritmo. Le funzioni trigonometriche. Limiti notevoli per l’esponenziale, il logaritmo e le funzioni trigonometriche. Compattezza e funzioni continue. Massimi e minimi: il teorema di Weierstrass per funzioni continue sui compatti. Il caso non compatto (intervallo limitato o no). Funzioni coercive. Esistenza di minimo o massimo. Esempi. Funzioni uniformemente continue: Teorema di Heine-Cantor. Esempi e controesempi.
Calcolo differenziale per funzioni da R in R. Motivazioni. Rapporto incre- mentale e derivata. Interpolante lineare e retta secante. Derivata sinistra e destra.
Derivabilit`a e funzione derivata. Derivabilit`a e continuit`a . Derivata ”infinita”. Due funzioni patologiche: la funzione di Dirichlet e la funzione di Weierstrass. Approssi- mante lineare. Relazioni tra l’esistenza dell approssimante lineare e la derivabili. Derivate delle principali funzioni elementari. Derivate successive. Gli spazi vettoriali
Cn(I), con n ∈ N, e C∞(I) e l applicazione lineare di derivazione. Quasi ogni fun- zione di C[0,1] non `e derivabile in nessun punto. Proprieta` del primo ordine:
crescenza e decrescenza (locali e globali) e punti di estremo relativo. Relazione tra crescenza in un punto e segno della derivata . Punti critici. Teorema di Fermat (se x e un punto di max o min interno allora f'(x) = 0) . Teorema di Rolle, di Cauchy e di Lagrange e loro interpretazione geometrica. Conseguenze del teorema di Lagrange: funzioni con derivata nulla (o positiva, o negativa) su un intervallo . Applicazioni allo studio di funzioni: esistenza di punti di massimo e di minimo attraverso lo studio dello derivata prima . Infiniti e infinitesimi. Studio di situazioni in cui i teoremi algebrici sui limiti non si applicano. Teoremi di Bernoulli-Hopital.
Confronto locale di funzioni da R in R . Infiniti equivalenti e ordini di infinito. Con fronto fra ordini di infinito. Formula di Taylor per funzioni da R in R e applicazioni.
Approssimazione locale e globale di una funzione mediante polinomi. Polinomio approssimante di ordine n. La formula di Taylor con il resto di Lagrange. funzione. SviluppidiTaylor-Maclaurindiex,sinx,cosx,ln(1+x),(1+x)a. Senoiperbolico, coseno iperbolico, tangente e cotangente iperbolica: loro definizione e proprieta` im- portanti. Proprieta` del secondo ordine: convessit`a , concavit`a (locali e globali) e punti di flesso. Condizioni sulla derivata seconda sufficienti per la convessit`a e la concavit`a locale o globale . Test della derivata seconda per l esistenza di un punto di estremo relativo . Condizione sulla derivata seconda necessaria per esistenza di un punto di flesso. Condizione sulla derivata terza sufficiente per esistenza di un punto di flesso . Esistenza di punti di flesso attraverso lo studio dello derivata seconda .
Teoria dell’integrazione per funzioni da R in R. Motivazioni. Decompo- sizioni di un intervallo. Somme inferiori e superiori e relative propriet`a. Integrale
di Riemann di una funzione limitata su un intervallo chiuso e limitato. Interpre- tazione geometrica dell’integrale. Esempio di una funzione non integrabile secondo Riemann. Integrabilit`a delle funzioni continue. Integrabilit`a delle funzioni limi- tate aventi un numero finito di punti di discontinuit`a. Integrabilit`a delle funzioni
monotone . Primitive di funzioni da R in R . Funzioni che ammettono primitive e primitive. Caratterizzazione delle primitive di una funzione definita su un intervallo.
Funzioni non integrabili elementarmente. Proprieta` dell’integrale: integrabilit`a della 3
combinazione lineare e linearita`, monotonia , integrabilit`a del valore assoluto, integrabilita` del prodotto, teorema della media integrale , additivit`a rispetto al dominio, integrabilita` della restrizione. Funzioni localmente integrabili.
La funzione integrale. Continuit`a della funzione integrale. Teorema fonda- mentale del calcolo . Derivazione di funzioni definite da integrali. Esistenza di una primitiva di una funzione continua. Teorema di Torricelli . Regole di integrazione definita: parti e sostituzione. Regole per le primitive: linearit`a , parti, sostituzione diretta e inversa. Metodo di decomposizione di Hermite. Integrazione di funzioni con particolari simmetrie: pari, dispari, periodiche. Integrale in senso generalizzato per funzioni da R in R. Motivazioni. Integrale in senso generalizzato. Integrazione in senso generalizzato delle funzioni campione. Criterio del confronto. Funzioni assolutamente integrabili e semplicemente integrabili in senso generalizzato. Esem- pio di un funzione semplicemente integrabile in senso generalizzato. Relazioni tra l’assoluta integrabilita` e l’integrabilita` in senso generalizzato.
Professor Enzo Mitidieri
As long as Algebra and Geometry were separated, their progress was slow
and their use limited; but once these sciences were united, they lent each
other mutual support and advanced rapidly together towards perfection.We
owe to Descartes the application of Algebra to Geometry; this has become
the key to the greatest discoveries in all fields of mathematics.
(Lagrange 1795, Oeuvres, vol. 7, p. 271).
Testi consigliati:
D. J. H. GARLING, A COURSE IN MATHEMATICAL ANALYSIS
Cambridge University Press
E. Giusti, Analisi Matematica 1 Ed. Boringhieri
E. Giusti, Esercizi e Complementi di Analisi Matematica vol.1 Ed. Boringhieri
G. Prodi, Analisi Matematica Ed. Boringhieri 