Art. 16 Obblighi di frequenza
La frequenza alle attività didattiche è obbligatoria e potrà essere accertata nelle forme ritenute più idonee dal titolare del corso; questi potrà anche definire modalità di frequenza diverse per studenti lavoratori o in altre specifiche condizioni. ( Estratto da : UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI TRIESTE REGOLAMENTO DIDATTICO DI CORSO DI LAUREA)
II semestre
Università degli Studi di Trieste - Facoltà di Ingegneria.
Programma del corso di Metodi Matematici per l'Ingegneria (6 CFU) A.A. 2014-2015
Programma
SERIE DI FOURIER
1. Concetti fondamentali. Nozioni introduttive. Il metodo dei minimi quadrati. Sistemi ortogonali, ortonormali. Esempi importanti. La disuguaglianza di Bessel. Lemma di Riemann-Lebesgue e identita di Parseval. Il Lemma di R-L generalizzato. Sistemi ortonormali completi. Equivalenze. Serie di Fourier in uno spazio di Hilbert generale. Serie di Fourier trigonometriche. Il sistema trigonometrico e’ completo. Esempi notevoli di serie di Fourier. Il calcolo dei coefficienti di Fourier. Sviluppi in serie di Fourier di funzioni standard. Esempi. Una identita; trigonometrica fondamentale. Il nucleo di Dirichlet. Rappresentazione integrale delle somme parziali della serie di Fourier di una funzione localmente integrabile mediante il nucleo di Dirichlet. La disuguaglianza di Cauchy-Schwartz funzionale: esempi. Forma complessa delle serie di Fourier.
2. Lo studio della convergenza puntuale. Convergenza puntuale delle serie di Fourier. Il teorema di approssimazione di Weierstrass. Il lemma di Riemann generalizzato. Un primo criterio di convergenza puntuale. Convergenza puntuale per funzioni Lipschitziane in un punto. Funzioni Holderiane rela- tivo criterio di convergenza puntuale delle serie di Fourier. Il teorema della convergenza dominata di Lebesgue. Il teorema di localizzazione di Riemann. Il criterio del Dini per la convergenza puntuale. Funzioni discontinue e convergenza. Il fenomeno di Gibbs.
3. Lo studio della convergenza uniforme. Il concetto di convergenza uniforme per una successione di funzioni fra spazi metrici. Esempi concreti. Esempi di convergenza uniforme per serie di Fourier. M-test di Weier- strass. Condizioni sufficienti per la convergenza uniforme. La convergenza secondo Cesaro. Altre medie. Il teorema di Fej ́er: illustrazione e dimostrazione dettagliata.La trasformata di Fourier: significato e prime proprieta'. Calcolo di Trasformate di Fourier: esempi fondamentali. Convoluzioni, Proprietaa' della trasformata rispetto alla convoluzione, la antitrasformata di Fourier, applicazioni. Il teorema di Plancherle.
FUNZIONI ANALITICHE
Funzioni di variabile complessa: Polinomi analitici, Equazioni di Cauchy-Riemann, Funzioni derivabili in senso complesso. Richiami sulle forme differenziali e loro proprietà', Integrali lungo curve di forme differenziali.Integrale lungo curve di funzioni complesse. Dimostrazione del teorema di Cauchy-Goursat. La formula integrale di Cauchy e sue conseguenze. Analiticita'. La formula di Cauchy per le derivate, Il teorema di Morera, Il teorema di gauss, le diseguaglianze di Cauchy,Il teorema di Liouville e sua forma generalizzata, Il teorema fondamentale dell'algebra. Serie di Taylor . Serie di Laurent per funzioni analitiche su un anello. La definizione di residuo. Il teorema di Cauchy sui residui. Integrali e residui. Serie di Laurent, proprieta', singolarita' isolate, poli,singolarita' essenziali. Poli: esempi. Calcolo dei residui. Integrali trigonometrici e altri esempi. Zeri di funzioni analitiche: Caratterizzazione, Se f ha uno zero e non e' identicamente in ogni intorno di z_0allora esiste una palla puntata dove e' diversa da zero. Se f e' nulla su un dominio ed e' analitica in un dominio che lo contiene, allora e' identicamente nulla. Una funzione analitica non identicamente nulla ha esclusivamente zeri isolati. Zeri e poli.Calcolo dei residui per P/Q con P(z-0) diversa da zero e z_0 zero semplice di Q. Metodo di Hermite e residui. Applicazioni della teoria dei residui: integrali impropri, valore principale integrali impropri. Esempi. Il lemma di Jordan. Esempi.Il teorema di Jordan, la diseguaglianza di Jordan: dimostrazione. Applicazioni. Residui e applicazioni a funzioni con poli sull'asse reale. Cammini rientranti.
