I semestre
Università degli Studi di Trieste - Facoltà di Scienze M.F.N.
Programma del corso di Analisi Matematica I (9 CFU) A.A. 2011-2012
Programma
Elementi di logica formale (cenni).
Proposizioni. Operazioni logiche: negazione, congiunzione, disgiunzione, implicazione, doppia implicazione. Tavole di verità. Proprietà delle operazioni logiche. Implicazioni. Tautologie e contraddizioni. Predicati. Quantificatori: universale ed esistenziale. Regole di negazione. Teoremi e controesempi. Dimostrazione per assurdo. L’equazione x^2 = 2 non ha soluzioni razionali.
Concetto di insieme. Elementi e appartenenza. Formazione di un insieme: principio di estensione e di astrazione. Inclusione. Insieme delle parti. Operazioni fra insiemi: intersezione, unione, differenza, complementare e relative proprietà. Applicazioni fra insiemi e loro proprietà: suriezioni, iniezioni, biiezioni; immagine e controimmagine; applicazione identica; restrizioni e prolungamenti; composizione; inversione. Insieme prodotto. Relazioni binarie. Grafico di una relazione e di un’applicazione. Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza e insieme quoziente. Definizione per astrazione con esempi. Relazioni d’ordine in senso debole e in senso stretto con esempi. Limitazioni superiori e inferiori. Insiemi limitati. Massimo e minimo. Estremo superiore e inferiore. Insiemi equipotenti e cardinalità. Confronto fra cardinalità. Insiemi numerabili. Z e Q sono numerabili. R non è numerabile. Cardinalità dell’insieme delle parti.
Numeri reali.
Assiomi dei numeri reali. L'assioma di continuita'. Maggioranti e minoranti, estremo superiore e inferiore. Proprieta' dell'estremo superiore. Funzione valore assoluto e sue proprietà. Disuguaglianza triangolare. Densita' dei razionali nei reali. Archimedeità dei reali. Zeri di un polinomio, permanenza del segno per un polinomio. Funzioni Lipschitziane ed Hölderiane. Subadditivita’ della somma con esponente p, 0
Elementi di calcolo combinatorio. Permutazioni. Il fattoriale. Disposizioni. Combinazioni. Coefficienti binomiali e loro proprietà. La formula di Newton per lo sviluppo del binomio.
Cenni di topologia sull'insieme dei numeri reali.
Intorni, insiemi aperti e chiusi. Punti di accumulazione e di chiusura. Frontiera di un insieme. Insieme derivato e caratterizzazione degli insiemi chiusi tramite il derivato. Il teorema di Bolzano(-Weierstrass). Spazi metrici (cenni): intorni, insiemi aperti, insiemi chiusi. Interno, chiusura e frontiera di un insieme in uno spazio metrico.
Numeri complessi.
Definizione di numero complesso. Forma algebrica (o di Eulero). L’unità immaginaria. Esistenza del reciproco di un numero complesso . C è un corpo commutativo. Piano di Gauss. Teorema fondamentale dell’algebra. Modulo di un numero complesso e relative proprietà. Coniugio in C e relative proprietà. Forma trigonometrica (o polare) di un numero complesso. Argomento di un numero complesso. Formule di de Moivre. Risoluzione dell’equazione z^n = w con n ∈ IN+ e w ∈C.
Limiti di successioni: il massimo e minimo limite etc.
Successioni di numeri reali. Definizione di limite di una successione, casi particolari di limiti finiti e successioni divergenti. Sottosuccessioni. Prime proprieta' dei limiti: unicita', permanenza del segno. Il massimo e minimo limite di una successione. Caratterizzazione del massimo e minimo limite. Proprieta’. Esempi e controesempi. Teorema del confronto e dei due Carabinieri. Operazioni con i limiti. Teorema sul limite delle successioni monotone. Il limite fondamentale $\lim (1+1/n)^n$ e il limite fondamentale $\lim \sin (x_n)/x_n$ per $x_n\to 0$. Caratterizzazione dei chiusi tramite le successioni. Successioni e sottosuccessioni convergenti. La compattezza sequenziale. Teorema di Weierstrass sulle successioni. Sottoinsiemi compatti di R e loro caratterizzazione. Successioni di Cauchy. Esempi. Ogni successione di Cauchy e’ limitata. Completezza di R (ogni successione di Cauchy è convergente). Esempi e controesempi.
Limiti per funzioni. Funzioni Lipschitziane, Hölderiane, uniformemente continue e continue.
Funzioni tra spazi metrici. Limite di una funzione tra spazi metrici. Operazioni con i limiti. Formula di cambiamento di variabile. Teorema dei due carabinieri. Limiti delle restrizioni: limite destro e sinistro. Funzioni monotone. Limiti notevoli. Funzioni Lipschitziane, Hölderiane. Uniforme continuità. Caratterizzazione delle funzioni uniformemente continue. Funzioni continue. Tre modi per caratterizzare le funzioni continue. Esempi e controesempi. Alcune funzioni Lipschitziane, Hölderiane notevoli. Somma, differenza, prodotto, quoziente, composizione di funzioni continue. Il teorema della permanenza del segno per funzioni continue. Il teorema degli zeri. Altri teoremi fondamentali sulle funzioni continue. Continuità della funzione inversa. Potenze di base reale ed esponente intero e razionale. Potenze con esponente reale. Funzione esponenziale e funzione logaritmo. Le funzioni trigonometriche. Limiti notevoli per l'esponenziale, il logaritmo e le funzioni trigonometriche. Compattezza e funzioni continue. Massimi e minimi: il teorema di Weierstrass per funzioni continue sui compatti.
Il caso non compatto (intervallo limitato o no). Funzioni coercive. Esistenza di minimo o massimo. Esempi. Funzioni uniformemente continue: Teorema di Heine-Cantor. Esempi e controesempi.
Calcolo differenziale per funzioni da R in R. Motivazioni. Rapporto incrementale e
derivata. Interpolante lineare e retta secante. Derivata sinistra e destra. Derivabilità e funzione
derivata. Derivabilità e continuita’. Derivata "infinita". Due funzioni patologiche: la
funzione di Dirichlet e la funzione di Weierstrass. Approssimante lineare. Relazioni tra l’esistenza
dell’approssimante lineare e la derivabilità. Retta tangente. Il concetto di Differenziale.Regole algebriche di derivazione: somma, prodotto, reciproca, quoziente. Derivazione della funzione composta. Derivazione della
funzione inversa (on dim.). Derivate delle principali funzioni elementari. Derivate suc-
cessive. Gli spazi vettoriali C n (I ), con n ∈N, e C ∞ (I ) e l’applicazione lineare di derivazione.
Proprietà del primo ordine: crescenza e decrescenza (locali e globali) e punti di estremo relativo.
Relazione tra crescenza in un punto e segno della derivata . Punti critici. Teorema di
Fermat (se x e’ un punto di max o min interno allora f’(x)=0) . Teorema di Rolle , di Cauchy e di Lagrange e
loro interpretazione geometrica. Conseguenze del teorema di Lagrange: funzioni con derivata nulla
(o positiva, o negativa) su un intervallo . Applicazioni allo studio di funzioni: esistenza
di punti di massimo e di minimo attraverso lo studio dello derivata prima . Infiniti e
infinitesimi. Studio di situazioni (forme di indecisione) in cui i teoremi algebrici sui limiti non si
applicano. Regola di de l’Hopital (con dim. nel caso 0/0 ).
Confronto locale di funzioni da R in R. Infiniti equivalenti e ordini di infinito. Confronto fra ordini di infinito. Formula di Taylor per funzioni da R in R e applicazioni. Approssimazione locale e globale di una funzione mediante polinomi. Polinomio approssimante di ordine n.
La formula di Taylor con il resto di Lagrange. funzione. Sviluppi di Taylor-Maclaurin di ex, sin x, cos x, log(1 + x), (1 + x)^a. Seno iperbolico, coseno iperbolico, tangente e cotangente iperbolica: loro definizione e proprieta’ notevoli. Proprietà del secondo ordine: convessita’, concavità (locali e globali) e punti di flesso. Condizioni sulla derivata seconda sufficienti per la convessità e la concavità locale o globale . Test della derivata seconda per l’esistenza di un punto di estremo relativo . Condizione sulla derivata seconda necessaria per esistenza di un punto di flesso. Condizione sulla derivata terza sufficiente per esistenza di un punto di flesso . Esistenza di punti di flesso attraverso lo studio dello derivata seconda .
Professor Enzo Luigi Mitidieri
Dottor Gherardo Piacitelli
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