Programma del Corso di Analisi Matematica II
Anno Accademico 2008/2009
Corso di Laurea in Informatica
Spazi metrici e spazi normati.
Spazi metrici: generalita` sugli spazi metrici, Intorni aperti e chiusi, esempi importanti di metriche, metriche limitate, metriche equivalenti, esempi e controesempi. Funzioni continue su spazi metrici, casi notevoli (funzioni vettoriali, etc...), funzioni localmente e globalmente Lipschitziane. La convergenza uniforme e quella puntuale. Esempi e controesempi. Lo spazio C^0 e C^1. La non-completezza di C^1 con la norma uniforme. Caratterizzazione della continuita’ di una funzione mediante successioni. Teoremi di passaggi al limite sotto il segno di integrale (casi speciali). Spazi vettoriali. Lo spazio R^n . Richiami sulle proprieta’ algebriche di R^n . Base canonica e base duale, proiezioni, etc.Spazi di Banach e di Hilbert: La non equivalenza delle norme ||.||1, ||.||2 e ||.||∞ su C ([a, b]; R). Operatori lineari fra spazi normati: caratterizzazione degli operatori lineari continui. Norma di un operatore. Esempi e controesempi. Ogni operatore lineare avente dominio uno spazio di dimensione finita e’ continuo. Relazione fra la norma di un operatore fra spazi di dimensione finita e la norma matriciale della matricie che lo rappresenta. Esempi, controesempi ed esercizi. Lo spazio R^n come spazio di Banach. Norme notevoli su R^n. Spazi con prodotto scalare. Spazi di Hilbert. Spazio duale di uno spazio di Hilbert. La disuguaglianza di Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz.
Augustin Cauchy 
Hermann Amandus Schwarz (often misspelled "Schwartz").
Viktor Yakovlevich Bunyakovsky
L’identita` del parallelogramma. Funzionali lineari. Il teorema di Riesz. Lo spazio R^n come spazio di Hilbert. Insiemi convessi. Caratterizzazione dellelemento di minima distanza da un convesso chiuso di uno spazio di Hilbert. Proiezioni sui convessi chiusi. Casi notevoli. Spazi metrici compatti. Il concetto di compattezza. L’utilita’ del concetto di compattezza. Uno spazio metrico compatto e` completo. limitati e totalmente limitati. Esempi e controesempi. Caratterizzazione degli insiemi compatti dello spazio ( R^n, || .||). Il teorema di Weierstrass e suoi corollari.
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (Weierstraß)
Funzioni coercive (esempi ed esercizi). In (R^n,|| ||) tutte le norme sono equivalenti. Compattezza e uniforme continuita`. Il teorema del Dini sulla convergenza uniforme di successioni di funzioni continue. Esempi e controesempi. Il teorema di Stefan Banach detto anche delle contrazioni. Esempi, controesempi ed esercizi riguardanti le contrazioni. 
Stefan Banach
Calcolo differenziale per funzioni di piu’ variabili.
Il concetto di derivata direzionale. Esempi. Derivate parziali. Il differenziale di una funzione. Se f e` differenziabile allora e` derivabile lungo ogni direzione. Esempi di funzioni derivabili lungo ogni direzione in un punto ma non continue nel punto. Ogni funzione con derivate parziali continue in un punto e` localmente Lipschitziana. La rappresentazione del differenziale di una funzione. Relazione fra il gradiente di una funzione e il differenziale della stessa. Il teorema del differenziale totale. Il teorema del valor medio. L’ utilita` del teorema del valor medio. Piano tangente ad un grafico e sua relazione con la differenziabilita`. Derivate successive. Multiindice. Il teorema sull inversione dell ordine di derivazione. Funzioni di classe C^k . La formula di Taylor per funzioni di piu’ variabili. Esempi di sviluppo di una funzione applicando la formula di Taylor. Differenziale di funzioni vettoriali. Condizione sufficiente per la differenziabilita` di funzioni vettoriali. Differenziale di funzioni composte. Esempi. Massimi e minimi per funzioni di piu` variabili. Il concetto di differenziale secondo.Rappresentazione del differenziale secondo. Forme quadratiche. rappresentazione di forme quadratiche. Studio delle forme quadratiche. Forme definite positive, negative, indefinite. Caratterizzazione delle forme definite positive (negative). Massimi e minimi locali per funzioni di piu` variabili. Caratterizzazione dei massimi (minimi) per funzioni di piu` variabili. Esempi e controesempi. Criteri per il calcolo dei massimi e minimi per funzioni di piu` variabili. Funzione omogeneee e loro caratterizzazione via il teorema di Eulero. Esempi ed esercizi.
Massimi e minimi vincolati per funzioni di piu variabili.
Vincoli espliciti e vincoli impliciti. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange . Il concetto di spazio tangente.
Equazioni differenziali ordinarie.
Che cos’e` una equazione differenziale? Equazioni differenziali di ordine superiore e sistemi. Equazioni autonome e non autonome. Il concetto di soluzione. Esempi notevoli di integrazione di equazioni differenziali del primo ordine. Il problema di Cauchy. Approssimazioni della soluzione. Intervallo massimale di esistenza. Condizioni sufficienti per l’esistenza del problema di Cauchy. Esempi. Prolungamento delle soluzioni. La nozione di prolungamento. Teorema di esistenza della soluzione massimale. Condizioni sufficienti per l’esistenza globale. Esempi di esplosione della soluzione in tempo finito. Esempi concreti di calcolo dellintervallo massimale di esistenza. Il lemma di Gronwall e sue variazioni e applicazioni : in particolare il teorema di esistenza globale sotto ipotesi di sub-linearita` (e in ipotesi di Lipschitzianita`). Studi qualitativi. Sistemi ed equazioni lineari. Esistenza globale per equazioni o sistemi lineari. Struttura dellinsieme delle soluzioni di un sistema lineare. Equazioni lineari di ordine superiore ad uno e caratterizzazione del loro insieme di soluzioni. Esempi. Il caso speciale in cui i coefficienti sono costanti. Esempi.
Massimi e minimi vincolati per funzioni di piu variabili. Vincoli espliciti e vincoli impliciti. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange . Il concetto di spazio tangente.
Integrale di Riemann in piu' variabili.
Definizione di integrale di Riemann. Condizione equivalente per l'integrabilita`. Integrabilita` delle funzioni continue. Misura di Peano-Jordan. Insiemi misurabili. Caratterizzazione degli insiemi misurabili tramite gli insiemi di misura nulla. Misurabilita' dei grafici di funzioni integrabili. Domini normali. Formule di riduzione sui domini normali. Funzioni generalmente continue. Integrabilita` delle funzioni generalmente continue. Principio di Cavalieri. Proprieta` di linearita` e monotonia dell'integrale. Teorema della media integrale. Teorema di cambio di variabile negli integrali multipli. Integrali di funzioni su domini illimitati.
Curve.
Generalita` sulle curve, curve di classe C^k. Sostegno di una curva. Curve equivalenti. Curve rettificabili. Lunghezza di una curva. Rettificabilita' di una curva di classe C^1. Integrale al differenziale d'arco.
Forme differenziali.
Generalita' sulle forme differenziali. Forme differenziali esatte. Integrazione delle forme differenziali su un cammino. Condizione necessaria e sufficiente per l'esattezza di una forma di classe C^0 su un dominio connesso. Forme differenziali chiuse. Teoremi di continuita` e derivabilita` di integrali dipendenti da un parametro. Domini stellati. Condizione necessaria e sufficiente per l'esattezza di una forma di classe C^1 su un dominio stellato. Campi vettoriali in R^3. Rotore di un campo vettoriale. Campi conservativi e campi irrotazionali. Potenziale. Formule di Gauss e Green sul piano per domini normali. Generalizzazioni delle formule di Gauss e Green. Partizione dell'unita`. Teorema della divergenza in R^2. Integrazione per parti per funzioni di piu` variabili.
Sergei Lvovich Sobolev (1933 at the age of 25)
Formule di Gauss e Green per le forme differenziali. Frontiera orientata. Aperti semplicemente connessi. Forme chiuse su aperti semplicemente connessi. Applicazione della teoria delle forme differenziali alla soluzione delle equazioni differenziali.
Superfici.
Generalita` sulle superfici. Superfici regolari. Area di una superficie. Formula di cambio di variabile per un integrale superficiale. Teorema della divergenza in R^3. Formula di Stokes.
Testi consigliati:
Enrico Giusti - Analisi Matematica 2, seconda edizione, Bollati Boringhieri, 1989.
Enrico Giusti - Esercizi e Complementi di Analisi Matematica,Volume II, Bollati
Boringhieri, 1989.
W. H. Fleming - Functions of several variables, Addison- Wesley Publishing Company,
1965.
Carlo Domenico Pagani & Sandro Salsa - Analisi Matematica, Volume II, Masson,
1992.
G. H. Hardy - A course in Pure Mathematics, X edition, Cambridge University Press,1952.
G. H. Hardy
Sergio Campanato - Lezioni di Analisi Matematica 2-a parte, seconda edizione,
Libreria Scientifica Giordano Pellegrini - Pisa, 1972.
Sergio Campanato - Esercizi e Complementi di Analisi Matematica 2 a parte, seconda
edizione, Libreria Scientifica Giordano Pellegrini - Pisa, 1972.
Professor Enzo Mitidieri