In questa pagina si potranno trovare varie indicazioni relative all'insegnamento di Matematiche Elementari da un Punto di Vista Superiore (6 cfu, II semestre) relativo al corso di Studi della laurea triennale in Matematica.
Il sito contiene gli appunti del corso (via via aggiornati), le registrazioni delle lezioni e altre indicazioni realtive al corso tenuto nel II semestre dell'anno accademico 2022-23
Negli anni accademici precedenti (anno accademico 2021-22, anno accademico 2020-21 e anno accademico 2019-20) il corso era denominato Matematiche complementari ma i contenuti erano simili a quanto fatto in questo corso.

Indicazioni

• Inizio lezioni: 1 marzo 2023 ore 11-12 aula 5C edificio H2bis
• Orario (dal 7 marzo 23):
  • Martedì ore 11-13 aula 5C H2 bis
  • Mercoledì ore 10-12 aula 4A H2 bis
  • Venerdì ore 14-16 aula 4A H2 bis

• Progamma del corso

Appunti del corso

Testi consigliati

• Derek Goldrei, Classic Set Theory for guided independent study, Chapman and Hall, 1996.
• James M. Henle, An Outline of Set Theory, Problem Books in Mathematics, Springer-Verlag, 1986.
• Carl B. Boyer, Storia della matematica, Oscar Mondadori, 1968.
• Andras Hajnal, Peter Hamburger, Set Theory, London Mathematical Society, 1999.
• Domenico Pagani, Sandro Salsa, Analisi matematica 1, Zanichelli, 2015.
• Rodolfo Permutti, Lezioni di algebra.
• Aleksandr Khinchin, Continued Fractions, Dover, 1997.
• Harold, Davenport, Aritmetica superiore: un'introduzione alla teoria dei numeri, Zanichelli - 1994
• Ivan Niven, Numeri razionali e irrazionali, Zanichelli, 1968.
• Ian Steward, Galois theory, Chapman and Hall 2003.
• Roger C. Alperin, A Mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers, New York J. Math.6 (2000) 119-133.
• Robert Lang, Origami and geometric constructions
• Francesco Defina, Teoria degli Origami: analisi di una teoria assiomatica.
• Sundara Row, Geometric exercises in paper folding, Dover Publications, 1966.

Breve diario delle lezioni

• Lezione 1 (1 marzo 23). Introduzione al corso. Indicazioni sui contenuti.
• Lezione 2 (2 marzo 23). Alcuni cenni sul linguaggio della logica. Le formule. I primi tre assiomi della teoria di Zermelo-Fraenkel.
• Lezione 3 (3 marzo 23). Ancora sui primi tre assiomi di ZF. Definizione di insieme coppia (non ordinata) e insieme singoletto. Coppie ordinate. n-uple ordinate. Altri tre assiomi di ZF (ZF4, ZF5, ZF6) e loro conseguenze. Definizione di un insieme costituito da un numero finto di elementi.
• Lezione 4 (7 marzo 23). Definizione di funzioni. Gli assiomi ZF7, ZF8, ZF9. Discussione sul loro significato.
• Lezione 5 (8 marzo 23). L'assioma della scelta. Alcune sue formulazioni equivalenti. Insiemi parzialmente ordinati. Massimi, minimi, maggioranti, minoranti. Insiemi induttivi. Il lemma di Zorn.
• Lezione 6 (10 marzo 23). Ancora sul Lemma di Zorn. Esempi di utilizzo: Ogni spazio vettoriale ammette una base, ogni gruppo possiede un sottogruppo abeliano massimale, ogni anello commutativo unitario ha un ideale massimale. Costruzione dei numeri naturali. Il successore di un elemento. Insiemi induttivi. I naturali sono il più piccolo insieme induttivo. Relazione d'ordine sui naturali.
• Lezione 7 (14 marzo 23). Gli assiomi di Peano. L'insieme N dei numeri naturali soddisfa agli assiomi di Peano. L'insieme dei naturali è bene ordinato. Insiemi finiti e infiniti. Un'applicazione di un insieme finito in sè iniettiva è anche suriettiva.
• Lezione 8 (15 marzo 23). Il principio della piccionaia. L'insieme dei numeri naturali è un insieme infinito. Le funzioni definite per ricorrenza (utilizzo dell'assioma ZF8). Definizione di somma (e prodotto) nei naturali.
• Lezione 9 (17 marzo 23). Cenno alla costruzione dell'anello degli interi partendo dai naturali. Cenno alla costruzione del campo dei quozienti di un dominio d'integrità. In particolare, costruzione dei numeri razionali. Anelli ordinati. Principali proprietà.
• Lezione 10 (21 marzo 23). Anelli ordinati archimedei, campi ordinati. Prolungamento dell'ordinamento da un anello ordinato al suo campo dei quozienti. Prime considerazioni sulla costruzione dei numeri reali. Successioni in un campo ordinato. Limite di una successione. Successione limitata. Successione di Cauchy.
• Lezione 11 (22 marzo 23). Proprietà delle successioni di Cauchy di un campo ordinato K. L'anello M delle successioni di Cauchy e l'ideale I delle successioni di Cauchy infinitesime. Il quoziente M/I è un campo (estensione cantoriana di K). Se si parte da un campo K ordinato archimedeo, l'estensione cantoriana è un campo ordinato archimedeo completo che estende K. Il campo dei reali. A meno di isomorfismi, esiste un unico campo ordinato archimedeo completo ed è isomorfo ad R.
• Lezione 12 (24 marzo 23). Dimostrazione del teorema di completezza di Cantor. Insiemi totalmente ordinati: definizione di estremo inferiore e estremo superiore. In un campo ordinato sono equivalenti il fatto che tutte le successioni di Cauchy convergono e il fatto che ogni sottoinsieme non vuoto superiormente limitato ammette estremo superiore. Secondo approccio ai numeri reali: il metodo delle sezioni di Dedekind. Le sezioni sinistre.
• Lezione 13 (28 marzo 23). Propiretà delle sezioni sinistre di Dedekind di un campo ordinato. Costruzione dell'insieme di tutte le sezioni sinistre di Dedekind. Ordinamento su tale insieme, la struttura di campo sull'insieme delle sezioni sinistre. Conclusione: altra costruzione dei numeri reali. Numeri razionali e irrazionali. Numeri algebrici e trascendenti.
• Lezione 14 (29 marzo 23). Esempi di numeri algebrici. Le radici n-ime. Polinomi di Chebyshev. Se un angolo è un multiplo razionale dell'angolo retto, allora il suo seno, il suo coseno e la sua tangente sono numeri algebrici. Teorema di Niven: quando un angolo che è multiplo razionale dell'angolo retto è razionale. Il settimo teorema di Hilbert. Il teorema di Gelfond e Schneider. Alcuni esempi con il Log.
• Lezione 15 (31 marzo 23). Numeri razionali, loro rappresentazione decimale. I numeri razionali come nuneri decimali periodici. Costruzione dei numeri reali come numeri decimali infiniti. Definizione di sequenza di numeri reali stabilizzata. Una sequenza di numeri reali scritti in forma decimale che sia non decrescente e superiormente limitata è stabilizzata e individua univocamente un numero reale. Conseguenza: possibilità di definire la somma e il prodotto sui numeri reali scritti in forma decimale. Ordinamento sui numeri reali (lessicografico).
• Lezione 16 (4 aprile 23). Il campo dei numeri reali è infinito non numerabile (dimostrazione con il metodo diagonale di Cantor). Prime nozioni sulle frazioni continue. Costruzione di una frazione continua partendo da un numero razionale. I termini di una frazione continua. Paragone tra la costruzione di una frazione continua e l'algoritmo di Euclide per il mcd. La formula di Eulero.
• Lezione 17 (5 aprile 23). Propiretà delle fazioni continue. I convergenti. Proprietà dei convergenti. Frazioni continue infinite. La successione dei convergenti.
• Lezione 18 (14 aprile 23). Da un numero reale si costruisce una frazione continua i cui convergenti convergono al numero reale da cui si è partiti. Una successione di termini definisce una frazione continua i cui convergenti hanno per limite un numero reale che, sviluppato in frazione continua, ha per termini quelli da cui si e` paertiti. Corrispondenza tra numeri reali e frazioni continue. Altro modo per costruire i numeri reali. Teorema di Liouville sui numeri algebrici di grado n. Numero di Liouville, Un numero di Liouville è trascendente.
• Lezione 19 (18 aprile 23). Costruzione di numeri trascendente. Un esempio. Alcuni esempi significativi di frazioni continue. Frazioni continue periodiche. Esempi. Il teorema di Lagrange: una frazione continua è periodica se e solo se il numero che rappresenta è algebrico di grado 2 (dim: solo il caso periodico ==> alg. grado 2).
  Costruzioni con riga e compasso. Prime nozioni.
• Lezione 20 (19 aprile 23). Costruzioni con riga e compasso. Punti costruibili in un passo, punti costruibili (in n passi). Campi associati alle costruzioni. Costruzioni impossibili (duplicazione del cubo, trisezione dell'angolo, quadratura del cerchio).
• Lezione 21 (21 aprile 23). Le operazioni di somma, prodotto, rapporto, differenza con riga e compasso. Come usare i due teoremi di Euclide, il teorema di Talete e il teorema della corda e della secante per costruire il prodotto e il rapporto di numeri (intesi come lunghezze di segmenti). Il pentagono. Sua costruzione.
• Lezione 22 (26 aprile 23). I poligoni regolari. I numeri primi di Fermat. Teorema che caratterizza i poligoni regolari costruibili con riga e compasso. Breve discussione sul metodo di costruzione di poligoni regolari di n in modo approssimato. Costruzioni per neusis. Trisezione dell'angolo per neusis, costruzione della radice cubica di 2 per neusis. Prime nozioni sulle costruzioni con le regole dell'origami.
• Lezione 23 (28 aprile 23). Le sette regole per le costruzioni con le tecniche di piegatura della carta (i cosiddetti assiomi di Huzita Hatori). Le regole sono complete, nel senso che coprono tutti i possibili casi di piegature di punto su punto, retta su retta e coppie retta, punto o retta, retta su coppie analoghe. Esempi di costruzioni. Il rapporto aureo. Il trasporto di un segmento. Con le regole dell'origami si possono trovare rapporti e prodotti di (lunghezze di) segmenti.
• Lezione 24 (2 maggio 23). Le costruzioni che si possono fare con i primi cinque assiomi di Huzita Hatori sono tutte e sole le costruizioni che si possono fare con le regole della riga e del compasso. Costruizione della radice quadrata di un numero. Varie interpretazioni dell'assioma H5: permette di trovare le intersezioni di una circonferenza con una retta e permette di trovare la retta tangente ad una parabola di fuoco e direttrice assegnati. Breve discussione sull'assioma H6: permette di trovare le tre tangenti a due parabole di cui sono noti i fuochi e le direttrici.
• Lezione 25 (3 maggio 2023). Ancora sugli assiomi di costruzione con le regole dell'origami. L'algoritmo di Horner per valutare un polinomio. Parallelo con il metodo di divisione di Ruffini. Il metodo di Lill per la ricerca di zeri di polinomi. Applicazione: il quadrato di Beloch e la dimostrazione che con le regole dell'origami (assioma H6) si possono risolvere le equazioni di terzo grado.