In questa pagina si potranno trovare varie indicazioni relative all'insegnamento di Matematiche Complementari (6 cfu, II semestre) relativo al corso di Studi della laurea triennale in Matematica.
Il sito contiene gli appunti del corso (via via aggiornati), le registrazioni delle lezioni e altre indicazioni realtive al corso tenuto nel II semestre dell'anno accademico 2020-21 (condizionato dall'emergenza Covid).

Testi consigliati

• Derek Goldrei, Classic Set Theory for guided independent study, Chapman and Hall, 1996.
• James M. Henle, An Outline of Set Theory, Problem Books in Mathematics, Springer-Verlag, 1986.
• Carl B. Boyer, Storia della matematica, Oscar Mondadori, 1968.
• Andras Hajnal, Peter Hamburger, Set Theory, London Mathematical Society, 1999.
• Domenico Pagani, Sandro Salsa, Analisi matematica 1, Zanichelli, 2015.
• Rodolfo Permutti, Lezioni di algebra.
• Aleksandr Khinchin, Continued Fractions, Dover, 1997.
• Harold, Davenport, Aritmetica superiore: un'introduzione alla teoria dei numeri, Zanichelli - 1994
• Ivan Niven, Numeri razionali e irrazionali, Zanichelli, 1968.
• Ian Steward, Galois theory, Chapman and Hall 2003.
• Roger C. Alperin, A Mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers, New York J. Math.6 (2000) 119-133.
• Robert Lang, Origami and geometric constructions
• Francesco Defina, Teoria degli Origami: analisi di una teoria assiomatica.
• Sundara Row, Geometric exercises in paper folding, Dover Publications, 1966.

Contenuti del corso

• Programma del corso (a.a. 2019-20).
• Programma del corso (a.a. 2020-21).
• Appunti del corso.

• Lezione 1
  Introduzione al corso. Un esempio: il teorema di Rolle, formulazioni intuitive e formulazione più rigorosa, attraverso un linguaggio formale. Insiemi: la definizione di Frege (insiemi definiti in modo estensionale e intensionale). Il paradosso di Russell.
  Video L1.
• Lezione 2
  Cenno al linguaggio formale della logica. Connettivi logici, quantificatori (universale ed esistenziale). Definizione di formula. I primi tre assiomi di Zermelo Fraenkel. Insieme coppia di insiemi, insieme singoletto (o singleton). Coppie ordinate. Terne ordinate, n-uple ordinate.
  Video L2 A; Video L2 B.
• Lezione 3
  Altri tre assiomi della teoria di Zermelo Fraenkel: Assioma di separazione, assioma del'insieme delle parti, assioma dell'unione. Discussione dei tre assiomi. Conseguenze: l'insieme unione e intersezione di due o più insiemi. Il complementare di un insieme. L'insieme prodotto di due insiemi. Definizione di applicazioni (funzioni) tra insiemi. L'insieme delle funzioni di un insieme in un altro insieme. L'assioma dell'infinito.
  Video L3 A; Video L3 B.
• Lezione 4
  Gli assiomi 7, 8, 9 (assioma dell'infinito, assioma di rimpiazzamento, assioma di fondazione). Discussione sul loro significato e sulle conseguenze. Assioma della scelta.
  Video L4 A; Video L4 B.
• Lezione 5
  Ancora sull'assioma della scelta. La funzione di scelta. Alcune formulazioni equivalenti dell'assioma della scelta. Conseguenze. Prodotto di insiemi. Il lemma di Zorn e sua equivalenza con l'assioma della scelta (senza dimostrazione). Conseguenze del lemma di Zorn. Successore di un insieme, insiemi induttivi, definizione dei numeri naturali.
  Video L5 A; Video L5 B.
• Lezione 6
  Un approfondimento sul Lemma di Zorn. Alcuni esempi di applicazione: ogni spazio vettoriale ammette una base, ogni gruppo contiene un gruppo abeliano massimale.
  I numeri naturali: defnizione de numeri 1, 2, 3,... Il principio di induzione. L'ordinamento sui numeri naturali.
  Video L6 A; Video L6 B.
• Lezione 7
  Ancora proprietà dei numeri naturali. Gli assiomi di Peano. L'insieme dei numeri naturali costruito dagli assiomi di ZF, soddisfa agli assiomi di Peano. Insiemi bene ordinati. I numeri naturali sono un insieme bene ordinato. Definizione di somma sui numeri naturali (cenno: la definizione fa uso dell'assioma ZF8). Insiemi finiti e alcune loro proprietà.
  Video L7 A; Video L7 B.
• Lezione 8
  Ancora proprietà degli insiemi finiti. Il principio della piccionaia. L'insieme dei naturali non e` un insieme finito.
  Veloce richiamo sulla costruzione dell'anello degli interi e del campo dei razionali. Anelli ordinati e loro prime proprietà.
  Video L8 A; Video L8 B.
• Lezione 9
  Anelli ordinati. Il valore assoluto e sue proprietà. Anelli ordinati archimedei. Campi ordinati. Un campo ordinato è denso in sè. Il campo dei quozienti di un anello ordinato. I numeri razionali e l'impossibilità di trovare certe soluzioni ad equazioni polinomiali. Verso la costruzione dei numeri reali. Successioni di elementi in un campo ordinato. Limite di una successione. Successioni di Cauchy.
  Video L9 A; Video L9 B.
• Lezione 10
  Proprietà delle successioni in un campo ordinato. Unicità del limite, limite della somma e del prodotto. Proprietà delle successioni di Cauchy in un campo ordinato K. Ogni successione convergente è di Cauchy. Le successioni di Cauchy sono limitate, somma e prodotto di successioni di Cauchy è successione di Cauchy. Le successioni di Cauchy formano un anello commutativo unitario. L'insieme delle successioni infinitesime è un ideale. L'anello quoziente delle successioni di Cauchy rispetto all'ideale delle successioni infinitesime è un campo che contiene il campo K, detto ampliamento cantoriano di K.
  Video L10 A; Video L10 B;
• Lezione 11
  L'ampliamento cantoriano di un campo è un campo ordinato che eredita l'ordinamento dal campo di cui è ampliamento. Se un campo è archimedeo, tale è anche il suo ampliamento cantoriano. Campi ordinati completi (cioè dove successione di Cauchy equivale a successione convergente). L'ampliamento cantoriano di un campo ordinato archiemedeo è un campo ordinato archimedeo completo. Ogni elemento di un completamento cantoriano di un campo K è limite di una successione a coefficienti nel campo K.
  Video L11 A; Video L11 B.
• Lezione 12
  Il campo R ordinato, archiemedeo completo dei numeri reali. Ogni campo ordinato, archimedeo completo è isomorfo, come campo ordinato, ad R.
  Insiemi totalmente ordinati, massimi, minimi, estremi superiori e inferiori. Un campo ordinato è completo se e solo se ogni suo sottoinsieme non vuoto, limitato superiormente, ammette estremo superiore (o se e solo se ogni suo sottoinsieme non vuoto, limitato inferiormente, ammette estremo inferiore).
  Lezione L12 A; Lezione L12 B.
• Lezione 13
  La costruzione dei numeri reali con le sezioni di Dedekind. Definizione di sezione di Dedekind, sezione sinistra, l'insieme K<sub>1</sub> di tutte le sezioni sinistre di un campo ordinato K è un insieme ordinato che contiene K e ogni suo sottoinsieme non vuoto e superiormente limitato ammette estremo superiore. Inoltre su K<sub>1</sub> si può definire una somma e un prodotto in modo da dargli struttura di campo ordinato, estensione di K. Se K e` un campo ordinato archimedeo, allora K₁ è un campo ordinato archiemedeo completo e quindi è l'insieme dei numeri reali.
  Numeri irrazionali. Elementi algebrici su un campo e loro proprietà.
  Lezione L13 A; Lezione L13 B.
• Lezione 14
  Ancora proprietà dei numeri algebrici. Polinomi di Chebyshev. Il seno e il coseno di un angolo multiplo razionale di 90 gradi è un numero algebrico. Il teorema di Niven. Il logaritmo in base 10 di un numero razionale non può essere razionale (salvo il caso Log 10^m). I numeri della forma a^b. Il settimo problema di Hilbert. Il teorema di Gelfond–Schneider.
  Lezione L14 A; Lezione L14 B.
• Lezione 15
  Numeri razionali e irrazionali in forma decimale. Notazione e proprietà. L'ordinamento sui razionali in forma decimale e le operazioni di somma e prodotto. Numeri periodici. Costruzione della frazione generatrice. Nueri reali in dotazione decimale. Definizione, ordinamento. Successione stabilizzata. Ogni successione di numeri reali in notazione decimale non decrescente e superiormente limitata è stabilizzata.
  Lezione L15 A; Lezione L15 B.
• Lezione 16
  Definizione di somma e prodotto sui numeri reali con notazione decimale. L'insieme dei numeri reali con notazione decimale è un campo ordinato e archimedeo. Si vede che è anche completo. Quindi i numeri reali con notazione decimale sono ancora una volta i numeri reali. I numeri reali non sono numerabili (dimostrazione con il metodo diagonale di Cantor).
  Le frazioni continue. Definizione e prime proprietà. Parallelismo tra la costruzione della frazione continua associata ad un numero razionale e l'algoritmo del mcd di Euclide. I termini di una frazione continua. La notazione [q₀, ..., q_n].
  Lezione L16 A; Lezione L16 B.
• Lezione 17
  Frazioni continue costruite da numeri razionali. Prime formule. La formula di Eulero e sue conseguenze. I convergenti di una frazione continua. Posizionamento dei convergenti di posto pari e dispari sulla retta reale. Corrispondenza biunivoca tra i numeri razionali e le frazioni continue finite con numero finito di termini (convenendo che in una frazione continua finita l'ultimo convergente non può essere 1. Frazioni continue infinite.
  Lezione 17 A; Lezione 17 B.
• Lezione 18
  Frazioni continue infinite. I loro convergenti. Varie formule. Partendo da un numero reale a si può costrire una frazione continua (infinita, se a non è razionale) i cui convergenti hanno per limite a. Partendo da una successione infinita di interi (il primo positivo, negativo o nullo, gli altri strettamente positivi) usati come termini di una frazione continua, i convergenti della frazione continua hanno per limite un numero reale a e i termini della frazione continua associata ad a sono proprio i termini fissati in partenza. Corrispondenza tra i numeri reali e le sequenze di termini. Numeri reali trascendenti: il teorema di Liouville. Numeri di Liouville. Costruzione di numeri trascendenti.
  Lezione 18 A; Lezione 18 B.
  Un video con la dimostrazione della trascendenza di e e di pi: Dal sito mathologer.
• Lezione 19
  Frazioni continue periodiche. Una frazione continua è periodica se e solo se il numero reale ad essa associato è algebrico di grado 2 (teorema di Lagrange).
  Il modello della geometria euclidea ove il piano è definito come RxR, i punti sono definiti come coppie ordinate di numeri reali, le rette sono definite con equazioni di primo grado ecc. In questo modo, tutti gli assiomi della geometria euclidea diventano teoremi (dimostrabili a partire dagli assiomi di ZF) e quelli che sono concetti primitivi (punto, retta, piano) possono venir definiti a partire sempre da ZF. Le costruzioni con riga e compasso. Prime definizioni e costruzioni.
  Lezione 19 A; Lezione 19 B.
• Lezione 20
  Punti costruibili con riga e compasso a partire da un insieme finito di punti dati. Partendo da due punti dati, con riga e compasso si può costruire un sistema di assi cartesiani ortogonali e si possono ottenere, per lo meno, tutti i punti a coordinate razionali. Vincolo a cui sono soggette le coordiante di un punto se è costruibile con riga e compasso. Teorema di Wantzel sull'impossibilità della duplicazione del cubo e della trisezione dell'angolo. Impossibilità di costruire l'ennagono con riga e compasso. Come usare i teoremi della geometria elementare per costruire, con riga e compasso, somma, differenza, prodotto di numeri.
  Lezione 20 A; Lezione 20 B.
• Lezione 21
  I numeri costruibili con riga e compasso formano un campo. Costruzione della radice quadrata di un numero con riga e compasso. Poligoni regolari. Il pentagono regolare. La costante aurea. Alcune costruzioni del pentagono. I numeri (primi) di Fermat. Il teorema (di Gauss - Wantzel) che caratterizza i poligoni regolari costruibili (senza dim.). Poligoni "quasi" regolari. La costruzione di un metodo approssimato per la costruzione di poligoni "quasi" regolari.
  Primi esempi di costruzioni eseguibili con le piegature della carta.
  Lezione 21 A; Lezione 21 B.
• Lezione 22
  Esempi di costruzione del triangolo equilatero, della sezione aurea e del pentagono con le piegature della carta. Formulazione delle regole. I sette assiomi di Huzita-Hatori. Con i primi 5 assiomi si può costruire un sistema di assi cartesiani ortogonali e si possono costruire tutti i punti a coordinate razionali del piano. Con le costruzioni con riga e compasso si possono fare tutte le costruzioni che sono enunciate nei primi 5 assiomi di Huzita-Hatori. Una proprietà della parabola. Con i primi 5 assiomi di Huzita-Hatori si possono fare tutte le costruzioni che si ottengono con riga e compasso.
  Lezione 22 A; Lezione 22 B.
• Lezione 23
  Costruzione di punti di una parabola di dato fuoco e direttrice con l'utilizzo dell'assioma H5. Con H5 si possono trovare radici quadrate e quindi risolvere equazioni di II grado. Gli assiomi H1,..., H5 permettono di fare tutte e sole le costruzioni che si possono fare con riga e compasso. Costruzione geometrica dell'intersezione di una circonferenza e una retta e di due circonferenze con H1,..., H5. L'assioma H6. Le bitangenti a due parabole. H6 permette di costruire le soluzioni di equazioni di III grado. In particolare, si può fare la duplicazione del cubo e la trisezione dell'angolo.
  Lezione 23 A; Lezione 23 B.
• Lezione 24
  Dipendenza degli assiomi H1,..., H7. Costruzioni che si possono fare partendo da tre punti nel piano e H1+H2. Dagli assiomi H1 e H2 si può ottenere l'assioma H4 e l'assioma H7. Partendo dall'assioma H5, gli assiomi H1 e H2 sono equivalenti. Da H1 (o H2) e H5 si ottengono anche H3, H4, H7. Partendo dall'assioma H6 si vede che H1 e H2 sono equivalenti. L'assioma H6 e l'assioma H1 (o H2) implicano tutti gli altri. Il metodo di Lill per la costruzione di soluzioni reali di equazioni polinomiali.
  Lezione 24 A; Lezione 24 B.
• Lezione 25
  Ancora sul metodo di Lill. Soluzione di equazioni di III grado. Il quadrato di Beloch. Il campo dei numeri costruibili con le regole dell'origami è chiuso rispetto all'operazione di radice cubica. Se un numero u è costuibile con le regole dell'origami allora esiste una torre di campi tali che il primo è il campo dei razionali, l'ultimo è il più piccolo campo che contiene u e ogni campo intermedio è di grado al massimo 3 sul campo precedente. Caratterizzazione dei poligoni regolari costruibili con le regole dell'origami.
  Lezione 25 A; Lezione 25 B.