In questa pagina si potranno trovare varie indicazioni relative all'insegnamento di Matematiche Elementari da un Punto di Vista Superiore (6 cfu, II semestre) relativo al corso di Studi della laurea triennale in Matematica.
Il sito contiene varie indicazioni realtive al corso tenuto nel II semestre dell'anno accademico 2023-24. Le lezioni vengono registate e si trovano sulle pagine di Teams realtive al corso stesso. La durata delle registrazioni è di un anno. Collegamento al Team del corso.
Qui si trovano i collegamenti ai siti relativi agli anni precedenti: anno accademico 2022-23, anno accademico 2021-22, anno accademico 2020-21 e anno accademico 2019-20.

Indicazioni

• Inizio lezioni: 5 marzo 2024.
• Orario (dal 12 marzo 24):
  • Martedì ore 14-16 aula 4C H2 bis
  • Giovedì ore 13.30-15 aula TA (B) Edificio C5
  • Venerdì ore 11-13 aula 4D H2 bis
• Ultima lezione: 17 maggio 2024

• Progamma del corso

Appunti del corso

Testi consigliati

• Derek Goldrei, Classic Set Theory for guided independent study, Chapman and Hall, 1996.
• James M. Henle, An Outline of Set Theory, Problem Books in Mathematics, Springer-Verlag, 1986.
• Carl B. Boyer, Storia della matematica, Oscar Mondadori, 1968.
• Andras Hajnal, Peter Hamburger, Set Theory, London Mathematical Society, 1999.
• Domenico Pagani, Sandro Salsa, Analisi matematica 1, Zanichelli, 2015.
• Rodolfo Permutti, Lezioni di algebra.
• Aleksandr Khinchin, Continued Fractions, Dover, 1997.
• Harold, Davenport, Aritmetica superiore: un'introduzione alla teoria dei numeri, Zanichelli - 1994
• Ivan Niven, Numeri razionali e irrazionali, Zanichelli, 1968.
• Ian Steward, Galois theory, Chapman and Hall 2003.
• Roger C. Alperin, A Mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers, New York J. Math.6 (2000) 119-133.
• Robert Lang, Origami and geometric constructions
• Francesco Defina, Teoria degli Origami: analisi di una teoria assiomatica.
• Sundara Row, Geometric exercises in paper folding, Dover Publications, 1966.

Breve diario delle lezioni

• Lezione 1 (5 marzo 24). Introduzione al corso. Indicazioni sui contenuti. Alcuni cenni sul linguaggio della logica. Le formule. I primi tre assiomi della teoria di Zermelo-Fraenkel.
• Lezione 2 (7 marzo 24). Ancora sui primi tre assiomi di ZF. Definizione di insieme coppia (non ordinata) e insieme singoletto. Coppie ordinate. n-uple ordinate. Altri tre assiomi di ZF (ZF4, ZF5, ZF6).
• Lezione 3 (12 marzo 24). Utilizzo degli assiomi ZF4, ZF5, ZF6. Costruzione di insiemi con ZF4 (assioma di separazione), costruzione dell'insieme delle parti, l'insieme unione di insiemi. L'insieme prodotto di insiemi.
• Lezione 4 (14 marzo 24). Definizione di applicazione tra insiemi. Gli insiemi ZF7, ZF8, ZF9. Assioma dell'infinito, assioma di rimpiazzamento e assioma di fondazione. Assioma della scelta. Alcune formulazioni equivalenti dell'assioma della scelta.
• Lezione 5 (19 marzo 24). Ancora sull'assioma della scelta. Assioma della scelta è equivalente al fatto che un'applicazione suriettiva ammette inversa destra. Insiemi semiordinati induttivi. Il lemma di Zorn. Alcune conseguenze del lemma di Zorn: esistenza di basi per spazi vettoriali, ogni gruppo abeliano ha un sottogruppo abeliano massimale. Ogni anello commutativo unitario ha ideale massimale.
• Lezione 6 (21 marzo 24). Conseguenza dell'assioma ZF8: Costruzione dei numeri nuaturali come il più piccolo insieme induttivo. I numeri 1, 2, 3... Relazione d'ordine nei numeri naturali (data come appartenenza). L'induzione. Gli assiomi di Peano.
• Lezione 7 (22 marzo 24). L'insieme dei naturali è bene ordinato. Insiemi finiti e infiniti. Somma tra numeri naturali. La definizione per ricorrenza.
• Lezione 8 (26 marzo 24). Esempio di somma tra numeri naturali. A partire dai numeri naturali, si costruisce l'insieme dei numeri interi (che è un anello con una relazione d'ordine). A partire dagli interi si può costruire il campo dei numeri razionali. Anelli ordinati. Definizioni equivalenti.
• Lezione 9 (4 aprile 24). Anelli ordinati. Due definizioni equivalenti. Propiertà degli anelli ordinati. Valore assoluto in un anello ordinato. Proprietà del valore assoluto. Anelli ordinati. Campi ordinati. Campi ordinati archimedei.
• Lezione 10 (5 aprile 24). L'ordinamento di un anello ordinato si estende in unico modo sul suo campo dei quozienti. Successioni e successioni di Cauchy su un campo ordinato. Ampliamento cantoriano. Successioni convergenti, successioni limitate, successioni infinitesime.
• Lezione 11 ( aprile 24). Proprietà delle successioni di Cauchy. Somma e prodotto di successioni di Cauchy sono successioni di Cauchy. L'insieme delle successioni di Cauchy su un campo ordinato forma un anello. L'insieme di tutte le successioni infinitesime è un ideale di tale anello e il quoziente è un campo che risulta anche un campo ordinato (che si dice ampliamento cantoriano del campo ordinato di partenza). Se il campo di partenza è ordinato, l'ampliamento cantoriano è ordinato. Stesso risultato in caso di archimedeo.
• Lezione 12 (11 aprile 24).Campi ordinati completi. Se K è un campo ordinato archimedeo, allora il suo ampliamento cantoriano è un campo ordinato archimedeo completo.
• Lezione 13 (12 aprile 24). Se K è un campo ordinato archimedeo, allora ogni elemento del suo completamento è limite di una successione di Cauchy a coefficienti in K. A meno di isomorfismi, esiste un unico campo ordinato archimedeo completo, ed è il campo dei numeri reali.
  Costruzione dei numeri reali con le sezioni di Dedekind. Definizione di minimo, massimo, maggiorante, minorante, estremo superiore, estremo inferiore in un insieme ordinato. In un campo ordinato archimedeo sono equivalenti le proprietà di essere completo; di avere estremo superiore per tutti i sottoinsiemi non vuoti superiormente limitati; di avere estremo inferiore per tutti i sottoinsiemi non vuoti, inferiormente limitati. Sezioni sinistre di Dedekind. L'insieme delle sezioni sinistre di Dedekind e sue proprietà.
• Lezione 13 (16 aprile 24). Se K è un campo ordinato, l'insieme delle sezioni sinistre di Dedekind soddisfa alla condizione di avere estremo superiore per ogni suo sottoinsieme non vuoto superiormente limitato. Definizione di somma e prodotto sull'insieme delle sez. sinistre di un campo ordinato. Se un campo K è ordinato (archimedeo), l'insieme delle sezioni sinistre di Dedekind di K è un campo ordinato (archimemdeo). Quindi, essendo anche completo, è proprio il campo dei reali.
  Numeri irrazionali.
• Lezione 14 (18 aprile 24). Numeri algebrici e trascendenti. Un po' di proprietà dei numeri algebrici. I polinomi di Chebyshev. Formula che esprime il coseno di un multiplo intero di un angolo con i polinomi di Chebyshev. Se un angolo ha coseno algebrico, ogni suo multiplo razionale ha ancora coseno algebrico. Stesso risultato per il seno e la tangente. Teorema di Niven.
• Lezione 15 (19 aprile 24). Ancora sul teorema di Niven. Quando il logaritmo in base 10 di un numero razionale è razionale? Il settimo problema di Hilbert e la soluzione di Gelford, Scheider (cenno).
  Terza costruzione dei numeri reali: con le rappresentazioni decimali. La rappresentazione in forma decimale di un numero razionale.
• Lezione 16 (23 aprile 24). Un completamento sul teorema di Niven. Ancora sulla rappresentazione decimale di un numero razionale. Come definire la somma e il prodotto usando le rappresentazioni decimali dei numeri razionali. In questo modo si ottiene una costruzione alternativa dei numeri razionali, partendo dagli interi. Definizione di numeri reali con la notazione decimale. Se si riesce a provare che i numeri reali, definiti in forma decimale, sono un campo ordinato archimedeo completo, si è trovata una ulteriore costruzione dei numeri reali.
• Lezione 17 (30 aprile 24). Successioni stabilizzate e utilizzo per definire una somma e un prodotto nell'insieme dei numeri reali espressi in forma decimale. I numeri reali, costriti con le rappresentazioni decimali, sono un campo archimedeo completo. Dimostrazione di Cantor del fatto che i reali non sono numerabili.
  Frazioni continue: prime definizioni. Parallelo con l'algoritmo del massimo comun divisore di Euclide.
• Lezione 18 (2 maggio 24). I termini di una frazione continua. Formula di Eulero per esprimere il numeratore (e il denominatore) di una frazione continua a partire dai termini. I convergenti di una frazione continua (finita) e alcune loro proprietà. I convergenti di indice pari sono crescenti, quelli di posto dispari sono decrescenti.
• Lezione 19 (3 maggio 24). I convergenti convergono ad un numero reale. Viceversa, data una successione di termini (numeri interi, il primo intero, gli altri naturali) definiscono un numero reale i cui termini sono i termini fissati. Costruzione di numeri trascendenti. Il teorema di Liouville.
• Lezione 20 (7 maggio 24). Dimostrazione del teorema di Liouville. Numeri di Liouville. I numeri di Liouville sono trascendenti. Costruzione di numeri di Liouville con l'utilizzo delle frazioni continue. Frazioni continue periodiche. Una frazione continua periodica rapprensenta un numero reale algebrico di grado 2. Vale anche il viceversa (senza dim.)
  Costruzioni con riga e compasso. Prime nozioni.
• Lezione 21 (9 maggio 24). Costruzioni con riga e compasso. Prime costruzioni possibili (bisezione di un angolo, divisione di un segmento in n parti uguali, alcuni poligoni regolari, ecc.). Definizione di costruzione con riga e compasso (in un passo e generale). Punti del piano costruibili con riga e compasso. Campi associati ad una costruzione con riga e compasso. Condizione sulle torri di campi ottenute in una costruzione con riga e compasso (i gradi delle estensioni di campi sono potenze di 2). I teoremi di Wanzel.
• Lezione 22 (10 maggio 24). Numeri costruibili con riga e compasso. costruzione con riga e compasso di somma, differenza, prodotto e rapporto di numeri (i.e. lunghezze di segmenti). Utilizzo del I o II teorema di Euclide. Costruzione della radice quadrata di un numero (lunghezza di un segmento). Poligoni regolari. Il pentagono regolare. Numeri primi di Fermat. Poligoni regolari costruibili con riga e compasso: Teorema di Gauss Wanzel (senza dim). Costruzioni per neusis. Trisezione dell'angolo per neusis. Costruzione della radice cubica di 2 con neusis.
• Lezione 23 (14 maggio 24). Costruzione con le piegatgure della carta. I primi 5 assiomi di Huzita Hatori. Tutte le costruzioni che si riescono a fare con i primi 5 assiomi di Huzita Hatori, si possono anche fare con riga e compasso. L'assioma H5 di Huzita Hatori comporta che si possano tracciare le rette tangenti ad una parabola di dato fuoco e direttrice. Tutte le costruzioni che si possono fare con riga e compasso, si possono fare con i primi 5 assiomi di Huzita Hatori (dimostrazione geometrica).
• Lezione 24 (16 maggio 24). Dal fatto che l'assioma H5 permette di costruire le tangenti ad una parabola, segue che si possono risolvere le equazioni di secondo grado (ad esempio perché si possono costruire le radici quadrate). L'assioma H6 di Huzita Hatori. Il suo significato geometrico è che si possono costruire le tre tangenti a due parabole date con fuoco e direttrice. Questo comporta che si possono risolvere le equazioni di terzo grado. Il settimo assioma di Huzita Hatori. Gli assiomi H1, ..., H7 sono completi, nel senso che coprono tutti i casi possibili di costruzioni che si possono fare con piegature che mandano punti in punti o punti su rette o rette in rette e che determinano un numero finito di pieghe. Esempi: costruzione della radice cubica di 2 con le piegature della carta. costruzione del rapporto aureo.
• Lezione 25 (17 maggio 24). Costruzione con H1, ..., H5 del pentagono regolare. Metodo di Horner per la valutazione di un polinomio. Legame con la divisione con Ruffini. Il metodo di Lill per risolvere graficamente equazioni polinomiali di grado n. Il quadrato di Beloch. Conseguenza: con il metodo di Lill e il quadrato di Beloch si vede che con H1, ..., H6 si risolvono le equazioni di terzo grado.