In questa pagina si potranno trovare varie indicazioni relative all'insegnamento di Matematiche Elementari da un Punto di Vista Superiore (6 cfu, II semestre) relativo al corso di Studi della laurea triennale in Matematica.
Il sito contiene varie indicazioni realtive al corso tenuto nel II semestre dell'anno accademico 2024-25. Le lezioni vengono registate e si trovano sulle pagine di Teams realtive al corso stesso. La durata delle registrazioni è di un anno. Alle lezioni registate si può accedere richiedendo l'autorizzazione al docente del corso.

Qui si trovano i collegamenti ai siti relativi agli anni precedenti:
anno accademico 2023-24,
anno accademico 2022-23,
anno accademico 2021-22,
anno accademico 2020-21,
anno accademico 2019-20.

Indicazioni

• Inizio lezioni: 3 marzo 2025.
• Orario provvisorio:
  • Lunedì ore 16-18 aula 5C H2 bis
  • Martedì ore 12-14 aula 4C Edificio H2 bis
  • Mercoledì ore 11-12 aula 5A H2 bis

• Progamma del corso (in preparazione)

Appunti del corso

Testi consigliati

• Derek Goldrei, Classic Set Theory for guided independent study, Chapman and Hall, 1996.
• James M. Henle, An Outline of Set Theory, Problem Books in Mathematics, Springer-Verlag, 1986.
• Carl B. Boyer, Storia della matematica, Oscar Mondadori, 1968.
• Andras Hajnal, Peter Hamburger, Set Theory, London Mathematical Society, 1999.
• Domenico Pagani, Sandro Salsa, Analisi matematica 1, Zanichelli, 2015.
• Rodolfo Permutti, Lezioni di algebra.
• Aleksandr Khinchin, Continued Fractions, Dover, 1997.
• Harold, Davenport, Aritmetica superiore: un'introduzione alla teoria dei numeri, Zanichelli - 1994
• Ivan Niven, Numeri razionali e irrazionali, Zanichelli, 1968.
• Ian Steward, Galois theory, Chapman and Hall 2003.
• Roger C. Alperin, A Mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers, New York J. Math.6 (2000) 119-133.
• Robert Lang, Origami and geometric constructions
• Francesco Defina, Teoria degli Origami: analisi di una teoria assiomatica.
• Sundara Row, Geometric exercises in paper folding, Dover Publications, 1966.

Breve diario delle lezioni

• Lezione 1 (3 marzo 25). Introduzione al corso. Breve indicazione sui contenuti. Alcuni cenni sul linguaggio della logica. I connnettivi logici, i quantificatori (unversale ed esistenziale). La costruzione di formule. Cenno alla definizione di Frege di un insieme e il paradosso di Russel.
• Lezione 2 (4 marzo 25). Ancora sul paradosso di Russell. Alcuni paradossi logici. La teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel. I primi tre assiomi. L'insieme coppia, l'insieme singoletto. Le coppie ordinate, le n-uple ordinate. Enunciato degli assiomi 4, 5, 6.
• Lezione 3 (5 marzo 25). 1 ora. Gli assiomi 4, 5, 6. Costruzioni di insiemi di n-uple, costruzione dell'unione e dell'intersezione di insiemi. Costruzione del prodotto di insiemi.
• Lezione 4 (10 marzo 25). Ancora sugli assiomi 4, 5, 6. Definizione di applicazione. Assiomi 7, 8, 9 (assioma dell'infinito, assioma del rimpiazzo, assioma di finitezza). Assioma della scelta. Prime considerazioni.
• Lezione 5 (11 marzo 25). Varie formulazioni equivalenti dell'assioma della scelta. Richiamo sugli ordinamenti su un insieme. Il lemma di Zorn. Equivalenza del lemma di Zorn con l'assioma della scelta (solo enunciato). Alcune conseguenze del lemma di Zorn: esistenza di basi per spazi vettoriali.
• Lezione 6 (12 marzo 25). 1 ora. Ancora applicazioni di Zorn: ogni anello unitario ammette ideale massimale, ogni gruppo contiene un sottogruppo abeliano massimale.
  Consegneuze dell'assioma dell'infinito (assioma 7): insiemi induttivi. Esiste il più piccolo insieme induttivo (che, per il primo assioma di Zermelo Fraenkel è unico). Questo insieme è l'insieme dei numeri naturali. Gli elementi dell'insieme dei numeri naturali.
• Lezione 7 (17 marzo 25). Ancora sull'insieme dei numeri naturali. Alcune proprietà. Il metodo di induzione. Ordinamento sui numeri naturali (dato con la relazione di appartenenza). Altre proprietà del successore. I numeri naturali introdotti con gli assiomi di Peano. L'insieme dei numeri naturali è un insieme bene ordinato. Insiemi finiti. Proprietà degli insiemi finiti. L'insieme dei naturali è infinito.
• Lezione 8 (18 marzo 25). Principio della piccionaia. Teorema sulla ricorsione (dimostrato per mezzo dell'assioma 8 del rimpiazzo). Definizione della somma di numeri naturali. Richiamo della costruzione degli interi partendo dai naturali. Richiamo della costruzione dei numeri razionali partendo dagli interi. L'ordinamento sugli interi e sui razionali.
• Lezione 9 (19 marzo 25). 1 ora. Anelli ordinati. Due definizioni equivalenti. Proprietà degli insiemi ordinati. Un anello ordinato è un dominio di caratteristica zero. Sottoanello di un anello ordinato. Isomorfismo di anelli ordinati.
• Lezione 10 (24 marzo 25). Proprietà degli anelli ordinati. Anelli ordinati archimedei. Il valore assoluto e sue proprietà. Ogni anello ordinato contiene un sottoanello ordinato isomorfo all'anello degli interi. L'anello degli interi è il più piccolo anello ordinato, il campo dei razionali è il più piccolo campo ordinato. Successioni in un campo ordinato. Definizione di successioni di Cauchy in un campo ordinato.
• Lezione 11 (25 marzo 25). Successioni infinitesime. Proprietà delle successioni di Cauchy. Somma e prodotto delle successioni di Cauchy è una successione di Cauchy. Le successioni di Cauchy sono limitate. L'insieme delle successioni di Cauchy di un campo ordinato è un anello. L'insieme delle successioni infinitesime è un suo sottoanello. Il quoziente è un campo e si dice ampliamento cantoriano del campo di partenza. Se il campo di partenza è archimedeo, allora l'amplliamento cantoriano è archimedeo. Definizione di campo ordinato completo (= ogni successione di Cauchy è convergente). L'ampliamento cantoriano di un campo ordinato archimedeo è un campo ordinato archimedeo completo.
• Lezione 12 (26 marzo 25). 1 ora. Dimostrazione del fatto che se partiamo da un campo ordinato e archimedeo, allora il suo ampliamento cantoriano è completo.
• Lezione 13 (31 marzo 25). Fine dimostrazione del teorema di completezza di un ampliamento cantoriano. Esiste, a meno di isomorfismi, un unico campo ordinato archimedeo completoc, detto il campo dei numeri reali. Estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme ordinato. Equivalenza tra esistenza del sup (inf) per un insieme limitato e la convergenza delle successioni di Cauchy. La costruizione di Dedekind dei numeri reali. Sezioni di Dedekind e sezioni sinistre di Dedekind.
• Lezione 14 (1 aprile 25). L'insieme K* delle sezioni sinistre di Dedekind di un campo K . Definizione di ordinamento su K*. Il campo K si può identificare con un sottoinsieme di K*. Nell'insieme ordinato K* ogni sottoinsieme non vuoto, superiormente limitato, ammette estremo superiore. Definizione di somma e prodotto su K*. Comclusione: Se partiamo da un campo ordinato archimedeo, allora K* è un campo ordinato archimedeo completo, quindi è il campo dei reali.
• Lezione 15 (2 aprile 25). 1 ora. Numeri irrazionali. Primi esempi. Numeri algebrici. Richiamo sul polinomio minimo, sul teorema della torre e su estensioni algebriche di campi. Quando la radice -ima di un numero naturale è un numero naturale (caratterizzazione).
• Lezione 16 (7 aprile 25). I polinomi di Chebyshev. Le funzioni goniometriche seno, coseno e tangente di angoli multipli razionali di pi greco sono numeri algebrici. Il teorema di Niven (seno e coseno di angoli multipli razionali di pi greco sono razionali solo per gli angoli 0, /6 (o pi/3) e pi/2 (o loro varianti). Quando Log di un numero razionale è razionale. Il settimo problema di Hilbert. Il teorema di Gelford, Schneider: Se a, b algebrici (con a non nullo e non 1 e grado b > 1) > 1) allora a^b è trascendente. Esempi di numeri irrazionali elevati ad irrazionali che danno come risultato un numero razionale.
• Lezione 17 (8 aprile 25). Costruzione dei numeri reali usando la notazione decimale. I numeri razionali in notazione decimale. Numeri decimali periodici. Costruzione della frazione generatrice. Operazioni con i numeri razionali in forma decimale. Definizione di numero reale in forma decimale.
• Lezione 18 (9 aprile 25). 1 ora. Ancora sulla costruzione dei numeri reali con la notazione decimale. Ordinamento. Sucessioni stabilizzate. Successioni monotone non decrescenti superiormente limitate sono convergenti. Definizione di somma e prodotto.
• Lezione 19 (xx 25). Il teorema di Cantor sulla non numerabilità dei numeri reali.
  Richiamo su divisione con resto tra interi e sul calcolo del massimo comun divisore di due numeri interi con l'algoritmo di Euclide. Frazioni continue. Sviluppo in frazione continua di un numero razionale. Parallelo con il calcolo del massimo comun divisore. I termini di una frazione continua. Definizioni e notizioni. Prime formule. Il calcolo di [q0,,..., qn] con il metodo di Eulero.

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