Analisi Reale A programma
Universit`a degli Studi di Trieste Corsi di Studi in Matematica e Fisica Insegnamento di Analisi Reale e Complessa - Modulo A
A.A. 2022/2023 Proff. Enzo Mitidieri e Eva Sincich


Teoria della misura: Algebre e sigma-algebre di insiemi. Spazi di misura. Misure finite e sigma-finite. Misure complete, completamento di una misura. Nozione di misura esterna. Sigma-algebra degli insiemi misurabili e misura generata dalla misura esterna. Misura esterna di Lebesgue su Rn e misura di Lebesgue. Caratterizzazione degli insiemi misurabili. Insieme di Vitali. Insieme di Cantor e funzione di Cantor - Vitali. La σ-algebra dei Boreliani non `e completa.
Integrale di Lebesgue: Funzioni misurabili. Funzioni semplici. Convergenza quasi ovunque e convergenza quasi uniforme. Teorema di Egorov-Severini. Convergenza in misura e convergenza alla Cauchy in misura. Approssimazione in misura di funzioni misurabili su R
n con funzioni a scalino e continue. Teorema di Lusin.


Integrale per funzioni semplici e per funzioni nonnegative misurabili.
Teorema di Beppo Levi (della convergenza monotona) e sue conseguenze. Lemma di Fatou. Integrale di funzioni di segno variabile. Teorema di convergenza dominata di Lebesgue e sue conseguenze. Assoluta continuit`a dell’integrale. Confronto tra integrale di Lebesgue sulla retta e integrale di Riemann. Integrali impropri e integrale di Lebesgue.

Spazi Lp - Differenziazione e Integrazione: Disuguaglianze di Young, H ╠łolder, Minkowsky. Convergenza in Lp e convergenza in misura. Densit`a in Lp delle funzioni semplici nulle fuori da insiemi di misura finita. Caratterizzazione duale della norma Lp, varie versioni. Disuguaglianza di Chebishev. Completezza degli spazi Lp (teorema di Riesz-Fisher). Separabilit`a di Lp e non separabilia' di L.
Funzionali lineari continui su spazi normati. Il teorema di proiezione su convessi chiusi di uno spazio di Hilbert. Spazi uninformemente convessi. Esempi. Ogni spazio un informemente e' riflessivo. Teorema di Milman-Pettis (cenni). Disuguaglianze di Hanner- Clarkson, Il teorema di Riesz di rappresentazione dei funzionali lineari continui su spazi
di Hilbert.Differenziazione. La funzione massimale M f . Semicontinuit`a della funzione massimale. La funzione massimale Mf non appartiene a L1loc. Spazio L1w. Il teorema di Hardy- Littlewood: la funzione massimale Mf appartiene a L1w. Il teorema di differenziazione di Lebesgue- Besicovitch. Misure con segno. Il teorema di decomposizione di Hahn. Decomposizione di Jordan per misure con segno. Il teorema di Radon-Nikodym. Il teorema di decomposizione di Lebesgue. Il teorema di rappresentazione di Riesz per funzionali lineari continui su Lp.

Ripresa: modi di convergenza: convergenza in misura, Teorema di F. Riesz: successioni di Cauchy in misura ammettono sottosuccessioni convergenti q.o. e in misura ad una funzione misurabile. Ogni successione di Cauchy in misura e' convergente in misura ad una funzione misurabile f, f e' unicamente determinata q.o. Convergenza dominata in misura. Convergenza quasi uniforme: successioni quasi uniformemente di Cauchy. Ogni successione quasi uniformemente di Cauchy ammette una sottosuccessione convergente q.u. e q.o., ad una f misurabile. Ogni successione convergente q.u. ad una f converge in misura. Se una successione converge in misura ad h allora esiste una sottosuccessione che converge q.u. ad h.





Testi di supporto:


1. H. L. Royden, Real Analysis, MacMillan, 1968 ; 2. A. Tesei, Istituzioni di Analisi Superiore, Bollati Boringhieri, 1997 ; 3. W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1987 ; 4. R. L. Wheeden, A. Zygmund, Measure and Integral, M. Dekker,1977 ; 5. E.H. Lieb, M. Loss, Analysis, American Mathematical Society, 1997.


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