I semestre
Università degli Studi di Trieste - Facoltà d’Ingegneria
Programma del corso di Analisi Matematica I (6 CFU) A.a. 2009-2010

Programma

Elementi di logica formale (cenni).
Proposizioni. Operazioni logiche: negazione, congiunzione, disgiunzione, implicazione, doppia implicazione. Tavole di verità. Proprietà delle operazioni logiche. Implicazioni. Tautologie e contraddizioni. Predicati. Quantificatori: universale ed esistenziale. Regole di negazione. Teoremi e controesempi. Dimostrazione per assurdo. L’equazione x^2 = 2 non ha soluzioni razionali.

Elementi di teoria degli insiemi (cenni).
Concetto di insieme. Elementi e appartenenza. Formazione di un insieme: principio di estensione e di astrazione. Inclusione. Insieme delle parti. Operazioni fra insiemi: intersezione, unione, differenza, complementare e relative proprietà. Applicazioni fra insiemi e loro proprietà: suriezioni, iniezioni, biiezioni; immagine e controimmagine; applicazione identica; restrizioni e prolungamenti; composizione; inversione. Insieme prodotto. Relazioni binarie. Grafico di una relazione e di un’applicazione. Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza e insieme quoziente. Definizione per astrazione con esempi. Relazioni d’ordine in senso debole e in senso stretto con esempi. Limitazioni superiori e inferiori. Insiemi limitati. Massimo e minimo. Estremo superiore e inferiore. Insiemi equipotenti e cardinalità. Confronto fra cardinalità. Insiemi numerabili. Z e Q sono numerabili. R non è numerabile. Cardinalità dell’insieme delle parti.

Numeri reali.
Assiomi dei numeri reali. L'assioma di continuita'. Maggioranti e minoranti, estremo superiore e inferiore. Teorema di esistenza dell'estremo superiore. Proprieta' dell'estremo superiore. Funzione valore assoluto e sue proprietà. Disuguaglianza triangolare. Densita' dei razionali nei reali. Archimedeità dei reali. Zeri di un polinomio, permanenza del segno per un polinomio, teorema degli zeri per un polinomio. Radici n-esime di numeri reali non negativi. Numeri naturali. Principio di induzione. I coefficienti binomiali e il teorema del binomio. Lo spazio R^n : prodotto scalare, norma, distanza.

Elementi di calcolo combinatorio. Permutazioni. Il fattoriale. Disposizioni. Combinazioni. Coefficienti binomiali e loro proprietà. La formula di Newton per lo sviluppo del binomio.

Cenni di topologia sull'insieme dei numeri reali.
Intorni, insiemi aperti e chiusi. Punti di accumulazione e di chiusura. Frontiera di un insieme. Insieme derivato e caratterizzazione degli insiemi chiusi tramite il derivato. Il teorema di Bolzano-Weierstrass. Spazi metrici (cenni): intorni, insiemi aperti, insiemi chiusi. Interno, chiusura e frontiera di un insieme in uno spazio metrico.

Numeri complessi.
Definizione di numero complesso. Forma algebrica (o di Eulero). L’unità immaginaria. Esistenza del reciproco di un numero complesso . C è un corpo commutativo. Piano di Gauss. Teorema fondamentale dell’algebra. Modulo di un numero complesso e relative proprietà. Coniugio in C e relative proprietà. Forma trigonometrica (o polare) di un numero complesso. Argomento di un numero complesso. Formule di de Moivre. Risoluzione dell’equazione z^n = w con n ∈ IN+ e w ∈C.

Limiti di successioni: il massimo e minimo limite etc.
Successioni di numeri reali. Il massimo e minimo limite di una successione. Caratterizzazione del massimo e minimo limite. Proprieta’. Esempi e controesempi. Definizione di limite di una successione, casi particolari di limiti finiti e successioni divergenti. Sottosuccessioni. Prime proprieta' dei limiti: unicita', permanenza del segno. Teorema del confronto e dei due Carabinieri. Operazioni con i limiti. Teorema sul limite delle successioni monotone. Il limite fondamentale $\lim (1+1/n)^n$ e il limite fondamentale $\lim \sin (x_n)/x_n$ per $x_n\to 0$. Caratterizzazione dei chiusi tramite le successioni. Successioni e sottosuccessioni convergenti. La compattezza sequenziale. Teorema di Weierstrass sulle successioni. Sottoinsiemi compatti di R e loro caratterizzazione. Successioni di Cauchy. Esempi. Ogni successione di Cauchy e’ limitata. Completezza di R. Esempi e controesempi.

Limiti per funzioni. Funzioni Lipschitziane, Hölderiane, uniformemente continue e continue.
Funzioni tra spazi metrici. Limite di una funzione tra spazi metrici. Operazioni con i limiti. Formula di cambiamento di variabile. Teorema dei due carabinieri. Limiti delle restrizioni: limite destro e sinistro. Funzioni monotone. Limiti notevoli. Funzioni Lipschitziane, Hölderiane. Uniforme continuità. Caratterizzazione delle funzioni uniformemente continue. Funzioni continue. Tre modi per caratterizzare le funzioni continue. Esempi e controesempi. Alcune funzioni Lipschitziane, Hölderiane notevoli. Somma, differenza, prodotto, quoziente, composizione di funzioni continue. Il teorema della permanenza del segno per funzioni continue. Il teorema degli zeri. Altri teoremi fondamentali sulle funzioni continue. Continuità della funzione inversa. Potenze di base reale ed esponente intero e razionale. Potenze con esponente reale. Funzione esponenziale e funzione logaritmo. Le funzioni trigonometriche. Limiti notevoli per l'esponenziale, il logaritmo e le funzioni trigonometriche. Compattezza e funzioni continue. Massimi e minimi: il teorema di Weierstrass per funzioni continue sui compatti.
Il caso non compatto (intervallo limitato o no). Funzioni coercive. Esistenza di minimo o massimo. Esempi. Teorema di Heine-Cantor. Esempi e controesempi.

II semestre
Università degli Studi di Trieste - Facoltà d’Ingegneria
Programma del corso di Analisi Matematica I (6 CFU) A.a. 2009-2010

Calcolo differenziale per funzioni da R in R. Motivazioni. Rapporto incrementale e
derivata. Interpolante lineare e retta secante. Derivata sinistra e destra. Derivabilità e funzione
derivata. Derivabilità e continuita’. Derivata infinita. Due funzioni patologiche: la
funzione di Dirichlet e la funzione di Weierstrass. Approssimante lineare. Relazioni tra l’esistenza
dell’approssimante lineare e la derivabilità. Retta tangente. Il concetto di Differenziale.Regole algebriche di derivazione: somma, prodotto, reci-
proca, quoziente. Derivazione della funzione composta. Derivazione della
funzione inversa (on dim.). Derivate delle principali funzioni elementari. Derivate suc-
cessive. Gli spazi vettoriali C n (I ), con n ∈N, e C ∞ (I ) e l’applicazione lineare di derivazione.
Proprietà del primo ordine: crescenza e decrescenza (locali e globali) e punti di estremo relativo.
Relazione tra crescenza in un punto e segno della derivata . Punti critici. Teorema di
Fermat . Teorema di Rolle , di Cauchy e di Lagrange e
loro interpretazione geometrica. Conseguenze del teorema di Lagrange: funzioni con derivata nulla
(o positiva, o negativa) su un intervallo . Applicazioni allo studio di funzioni: esistenza
di punti di massimo e di minimo attraverso lo studio dello derivata prima . Infiniti e
infinitesimi. Studio di situazioni (forme di indecisione) in cui i teoremi algebrici sui limiti non si
applicano. Regola di de l’Hopital (con dim. nel caso 0/0 ). Teorema sul limite della derivata
. Funzioni asintotiche e asintoti.

Confronto locale di funzioni da R in R. Infiniti equivalenti e ordini di infinito. Confronto fra ordini di infinito. Ordine di infinito della somma e del prodotto. Ordini di infinito reali, soprareali, sottoreali e infrareali. Infinitesimi equivalenti e ordini di infinitesimo. Confronto fra ordini di infinitesimo. Ordini di infinitesimo reali, soprareali, sottoreali e infrareali. La notazione “o” di Landau.
Formula di Taylor per funzioni da R in R e applicazioni. Approssimazione locale e globale di una funzione mediante polinomi. Polinomio approssimante di ordine n.
La formula di Taylor con il resto di Lagrange. funzione. Sviluppi di Taylor-Maclaurin di ex, sin x, cos x, log(1 + x), (1 + x)^a. Seno iperbolico, coseno iperbolico, tangente e cotangente iperbolica: loro definizione e proprieta’notevoli. Proprietà del secondo ordine: convessita’, concavità (locali e globali) e punti di flesso. Condizioni sulla derivata seconda sufficienti per la convessità e la concavità locale o globale . Test della derivata seconda per l’esistenza di un punto di estremo relativo . Condizione sulla derivata seconda necessaria per esistenza di un punto di flesso. Condizione sulla derivata terza sufficiente per esistenza di un punto di flesso . Esistenza di punti di flesso attraverso lo studio dello derivata seconda . Primitive di funzioni da R in R. Funzioni integrali e primitive. Caratterizzazione delle primitive di una funzione definita su un intervallo .Regole : linearità, parti, sostituzione diretta e inversa. Primitive delle funzioni razionali: metodo di decomposizione di Hermite. Alcune sostituzioni razionalizzanti.

Teoria dell’integrazione per funzioni da R in R. Motivazioni. Decomposizioni di un intervallo. Somme integrali inferiori e superiori e relative proprietà . Integrale di Riemann di una funzione limitata su un intervallo chiuso e limitato. Interpretazione geometrica dell’integrale. i. Esempio di una funzione non integrabile secondo Riemann. Integrabilità delle funzioni continue . Integrabilità delle funzioni limitate aventi un numero finito di punti di discontinuità. Integrabilità delle funzioni monotone . Proprietà dell’integrale: integrabilità della combinazione lineare e linearità , monotonia , integrabilità del valore assoluto , integrabilità del prodotto , teorema della media integrale , additività rispetto al dominio , integrabilità della restrizione . Funzione integrale. Continuità della funzione integrale . Derivazione di funzioni definite da integrali . Esistenza di una primitiva di una funzione continua. Teorema fondamentale del calcolo integrale . Regole di integrazione definita: parti e sostituzione . Integrazione di funzioni con particolari simmetrie: pari, dispari, periodiche. Relazioni fra continuita, esistenza della primitiva, integrabilita’.

Integrale in senso generalizzato per funzioni da R in R. Motivazioni. Integrale in senso generalizzato. Integrazione in senso generalizzato delle funzioni campione. Criterio del confronto . Funzioni assolutamente integrabili e semplicemente integrabili in senso generalizzato. Esempio di una funzione integrabile in senso generalizzato, ma non assolutamente integrabile in senso generalizzato. Relazioni tra l’assoluta integrabilità e l’integrabilità in senso generalizzato . Criterio dell’ordine di infinitesimo . Criterio dell’ordine di infinito.

Serie numeriche. Motivazioni ed esempi. Serie di numeri reali. Termine generale e somme parziali (ridotte). Serie convergenti, divergenti, indeterminate. La serie geometrica e suo carattere . La serie armonica e suo carattere . La serie di Mengoli e suo carattere . Condizione necessaria per la convergenza: il termine generale dev’essere infinitesimo . Funzione a gradino associata a una serie. Relazioni tra serie e integrali generalizzati . Stime della somma e stime d’errore. Serie a termini positivi. Il criterio di Leibniz per serie a termini alterni.
Criterio del confronto . Criterio dell’ordine d’infinitesimo . Serie armonica generalizzata e suo carattere . Criterio del rapporto . Criterio del rapporto con il limite . Criterio della radice . Criterio della radice con il limite . Serie con i termini di segno misto. Serie assolutamente e semplicemente convergenti. La convergenza assoluta implica la convergenza . Serie con i termini di segno alternato. Criterio di Leibniz . Operazioni con le serie: somma e prodotto per una costante. Proprietà associativa per le serie. .  Permutabilità delle serie convergenti a termini positivi . Permutabilità delle serie assolutamente convergenti. Serie incastro e applicazioni. Convergenza di una successione di numeri complessi. Serie di numeri complessi (cenni)


Testi consigliati:

E. Giusti, Analisi Matematica 1 Ed. Boringhieri
E. Giusti, Esercizi e Complementi di Analisi Matematica vol.1 Ed. Boringhieri
G. Prodi, Analisi Matematica Ed. Boringhieri