I semestre
Università degli Studi di Trieste - Facoltà di Ingegneria.
Programma del corso di Analisi Matematica I (9 CFU) A.A. 2012-2013
Programma
Numeri reali.
Proprieta algebriche dei numeri reali: IR e un corpo commutativo. Proprieta d'ordine dei numeri reali: IR e un corpo commutativo totalmente ordinato.
L'insieme IN dei numeri naturali. Principio d'induzione e applicazioni. Permutazioni. Il fattoriale.
Combinazioni. Coecienti binomiali. La formula di Newton per lo sviluppo del binomio. L'insieme
ZZ dei numeri interi relativi. L'insieme IQ dei numeri razionali. La retta reale. Insucienza dei
numeri razionali. L'equazione x^2 = 2 non ha soluzioni razionali (con dim.). Classi separate e
classi contigue. Proprieta di continuita (di Dedekind) dell'insieme dei numeri reali: IR e un corpo
commutativo totalmente ordinato e completo. IQ non e completo. Limitazioni inferiori e superiori.
Massimo e minimo. Estremo superiore e inferiore. Teorema di esistenza dell'estremo superiore
(con dim.). Proprieta caratteristiche dell'estremo superiore e inferiore. I simboli +1 e 1. Gli
intervalli in IR. Valore assoluto e sue proprieta’ (con dim.). Proprieta di Archimede (con dim.).
Approssimazione dei numeri reali mediante i numeri razionali (con dim.). Densita di IQ in IR. Densita di delle frazioni decimali in IR. Rappresentazione in base dieci dei numeri naturali,
razionali e reali. Studio dell'equazione x^n = a con n 2 IN+
e a 2 IR. La radice nesima in IR.
Zeri di un polinomio, permanenza del segno per un polinomio. Funzioni Lipschitziane ed Hölderiane. Subadditivita’ della somma con esponente p, 0
Elementi di calcolo combinatorio. Permutazioni. Il fattoriale. Disposizioni. Combinazioni. Coefficienti binomiali e loro proprietà. La formula di Newton per lo sviluppo del binomio.
Cenni di topologia sull'insieme dei numeri reali.
Intorni, insiemi aperti e chiusi. Punti di accumulazione e di chiusura. Frontiera di un insieme. Insieme derivato e caratterizzazione degli insiemi chiusi tramite il derivato. Il teorema di Bolzano(-Weierstrass). Spazi metrici (cenni): intorni, insiemi aperti, insiemi chiusi. Interno, chiusura e frontiera di un insieme in uno spazio metrico.
Numeri complessi.
Definizione di numero complesso. Forma algebrica (o di Eulero). L’unità immaginaria. Esistenza del reciproco di un numero complesso . C è un corpo commutativo. Piano di Gauss. Teorema fondamentale dell’algebra. Modulo di un numero complesso e relative proprietà. Coniugio in C e relative proprietà. Forma trigonometrica (o polare) di un numero complesso. Argomento di un numero complesso. Formule di de Moivre. Risoluzione dell’equazione z^n = w con n ∈ IN+ e w ∈C.
Limiti di successioni: il massimo e minimo limite etc.
Successioni di numeri reali. Definizione di limite di una successione, casi particolari di limiti finiti e successioni divergenti. Sottosuccessioni. Prime proprieta' dei limiti: unicita', permanenza del segno. Il massimo e minimo limite di una successione. Caratterizzazione del massimo e minimo limite. Proprieta’. Esempi e controesempi. Teorema del confronto e dei due Carabinieri. Operazioni con i limiti. Teorema sul limite delle successioni monotone. Il limite fondamentale $\lim (1+1/n)^n$ e il limite fondamentale $\lim \sin (x_n)/x_n$ per $x_n\to 0$. Caratterizzazione dei chiusi tramite le successioni. Successioni e sottosuccessioni convergenti. La compattezza sequenziale. Teorema di Weierstrass sulle successioni. Sottoinsiemi compatti di R e loro caratterizzazione. Successioni di Cauchy. Esempi. Ogni successione di Cauchy e’ limitata. Completezza di R (ogni successione di Cauchy è convergente). Esempi e controesempi.
Limiti per funzioni. Funzioni Lipschitziane, Hölderiane, uniformemente continue e continue.
Funzioni tra spazi metrici. Limite di una funzione tra spazi metrici. Operazioni con i limiti. Formula di cambiamento di variabile. Teorema dei due carabinieri. Limiti delle restrizioni: limite destro e sinistro. Funzioni monotone. Limiti notevoli. Funzioni Lipschitziane, Hölderiane. Uniforme continuità. Caratterizzazione delle funzioni uniformemente continue. Funzioni continue. Tre modi per caratterizzare le funzioni continue. Esempi e controesempi. Alcune funzioni Lipschitziane, Hölderiane notevoli. Somma, differenza, prodotto, quoziente, composizione di funzioni continue. Il teorema della permanenza del segno per funzioni continue. Il teorema degli zeri. Altri teoremi fondamentali sulle funzioni continue. Continuità della funzione inversa. Potenze di base reale ed esponente intero e razionale. Potenze con esponente reale. Funzione esponenziale e funzione logaritmo. Le funzioni trigonometriche. Limiti notevoli per l'esponenziale, il logaritmo e le funzioni trigonometriche. Compattezza e funzioni continue. Massimi e minimi: il teorema di Weierstrass per funzioni continue sui compatti.
Il caso non compatto (intervallo limitato o no). Funzioni coercive. Esistenza di minimo o massimo. Esempi. Funzioni uniformemente continue: Teorema di Heine-Cantor. Esempi e controesempi.
Calcolo differenziale per funzioni da R in R. Motivazioni. Rapporto incrementale e
derivata. Interpolante lineare e retta secante. Derivata sinistra e destra. Derivabilità e funzione
derivata. Derivabilità e continuita’. Derivata "infinita". Due funzioni patologiche: la
funzione di Dirichlet e la funzione di Weierstrass. Approssimante lineare. Relazioni tra l’esistenza
dell’approssimante lineare e la derivabilità. Retta tangente. Il concetto di Differenziale.Regole algebriche di derivazione: somma, prodotto, reciproca, quoziente. Derivazione della funzione composta. Derivazione della
funzione inversa (on dim.). Derivate delle principali funzioni elementari. Derivate suc-
cessive. Gli spazi vettoriali C n (I ), con n ∈N, e C ∞ (I ) e l’applicazione lineare di derivazione.
Proprietà del primo ordine: crescenza e decrescenza (locali e globali) e punti di estremo relativo.
Relazione tra crescenza in un punto e segno della derivata . Punti critici. Teorema di
Fermat (se x e’ un punto di max o min interno allora f’(x)=0) . Teorema di Rolle , di Cauchy e di Lagrange e
loro interpretazione geometrica. Conseguenze del teorema di Lagrange: funzioni con derivata nulla
(o positiva, o negativa) su un intervallo . Applicazioni allo studio di funzioni: esistenza
di punti di massimo e di minimo attraverso lo studio dello derivata prima . Infiniti e
infinitesimi. Studio di situazioni (forme di indecisione) in cui i teoremi algebrici sui limiti non si
applicano. Regola di de l’Hopital (con dim. nel caso 0/0 ).
Confronto locale di funzioni da R in R. Infiniti equivalenti e ordini di infinito. Confronto fra ordini di infinito. Formula di Taylor per funzioni da R in R e applicazioni. Approssimazione locale e globale di una funzione mediante polinomi. Polinomio approssimante di ordine n.
La formula di Taylor con il resto di Lagrange. funzione. Sviluppi di Taylor-Maclaurin di ex, sin x, cos x, log(1 + x), (1 + x)^a. Seno iperbolico, coseno iperbolico, tangente e cotangente iperbolica: loro definizione e proprieta’ notevoli. Proprietà del secondo ordine: convessita’, concavità (locali e globali) e punti di flesso. Condizioni sulla derivata seconda sufficienti per la convessità e la concavità locale o globale . Test della derivata seconda per l’esistenza di un punto di estremo relativo . Condizione sulla derivata seconda necessaria per esistenza di un punto di flesso. Condizione sulla derivata terza sufficiente per esistenza di un punto di flesso . Esistenza di punti di flesso attraverso lo studio dello derivata seconda .
Primitive di funzioni da IR in IR. Funzioni primitivabili e primitive. Caratterizzazione delle
primitive di una funzione defnita su un intervallo (con dim.). Funzioni non integrabili elementarmente. Regole per le primitive: linearita, parti, sostituzione diretta e inversa.
Metodo di decomposizione di Hermite.
Teoria dell'integrazione per funzioni da IR in IR. Motivazioni. Decomposizioni di un in-
tervallo. Somme inferiori e superiori e relative proprieta. Integrale di Riemann di una funzione
limitata su un intervallo chiuso e limitato. Interpretazione geometrica dell'integrale. Esempio di
una funzione non integrabile secondo Riemann. Integrabilita delle funzioni continue. Integrabilita
delle funzioni limitate aventi un numero nito di punti di discontinuita. Integrabilita delle funzioni
monotone . Proprieta dell'integrale: integrabilita della combinazione lineare e linearita,
monotonia (con dim.), integrabilita del valore assoluto, integrabilita del prodotto, teorema della
media integrale (con dim.), additivita rispetto al dominio, integrabilita della restrizione. Funzioni
localmente integrabili. Funzione integrale. Continuita della funzione integrale.
Teorema fondamentale del calcolo (con dim.). Derivazione di funzioni de nite da integrali. Esistenza di una primitiva di una funzione continua. Teorema di Torricelli (con dim.). Re-
gole di integrazione definita: parti e sostituzione (con dim.). Integrazione di funzioni con particolari
simmetrie: pari, dispari, periodiche.
Integrale in senso generalizzato per funzioni da IR in IR. Motivazioni. Integrale in senso
generalizzato. Integrazione in senso generalizzato delle funzioni campione. Criterio del confronto
. Funzioni assolutamente integrabili e semplicemente integrabili in senso generalizzato.
Esempio di un funzione semplicemente integrabile in senso generalizzato. Relazioni tra l'assoluta
integrabilita e l'integrabilita in senso generalizzato. Criterio dell'ordine di in nitesimo .
Criterio dell'ordine di infinito.
Professor Enzo Luigi Mitidieri
Testi consigliati:
S. Ponnusamy , Foundations of Mathematical Analysis,
Springer, Birkhäuser .
V. A. Zorich, Mathematical Analysis I
Springer, Series: Universitext
E. Giusti, Analisi Matematica 1 Ed. Boringhieri
E. Giusti, Esercizi e Complementi di Analisi Matematica vol.1 Ed. Boringhieri
G. Prodi, Analisi Matematica Ed. Boringhieri 