1. Curiosità matematiche
I
l paradosso di Banach - Tarski. Cenni sulla teoria della misura, con particolare
attenzione alla misura e dimensione di Hausdorff. Insiemi autosimilari e insiemi
frattali. L'insieme di Mandelbrot e gli insiemi di Julia. Cenni sui sistemi
caotici.
2. Forme differenziali
Lo spazio delle applicazioni M-lineari antisimmetriche. Definizione di una M-forma differenziale. Componenti di una forma differenziale e campo di vettori associato. Prodotto esterno, differenziale esterno. Rotore e divergenza di un campo di vettori. Parametrizzazioni e M-superfici. Integrale di una M-forma differenziale su una M-superficie. Integrale di linea, di superficie (flusso) e di volume. Incollamenti, bordo orientato di un rettangolo e di una M-superficie. La formula di Gauss e il teorema di Stokes-Cartan. Formule di Stokes-Ampère, Stokes-Ostrogradski e Gauss-Green. La formula di Stokes-Cartan sulle varietà differenziali.
3. Teoria spettrale in spazi di Hilbert
Prodotto scalare, norma, distanza. Disuguaglianza di Schwarz. Definizione di spazio di Hilbert. Varietà lineari, sottospazi. Vettori e sottospazi ortogonali, proiezioni. Base di uno spazio di Hilbert, separabilità. Sviluppi in serie di Fourier. Applicazioni lineari. Limitatezza e continuità. Teorema di Riesz. Forme bilineari e forme quadratiche ad esse associate. Operatore aggiunto. Operatori autoaggiunti. Spettro di un operatore, autovalori, autovalori generalizzati. Serie di Neumann. Compattezza dello spettro di un operatore limitato. Spettro di un operatore autoaggiunto. Funzioni di operatori: polinomi, funzioni continue, funzioni a gradini. Teorema spettrale per un operatore autoaggiunto limitato. Cenni sull’estensione della teoria ad operatori non limitati.
TESTI CONSIGLIATI:
1. A. Fonda, "Lezioni sulla teoria dell'integrale", Ed. Goliardica, Trieste, 2001.