Facoltà di Scienze Matematiche,
Fisiche e Naturali
Corso di Studi in Matematica
Anno accademico 2014/2015
Programma del corso di
Analisi Funzionale
tenuto dal Prof. Alessandro Fonda
1. Grado topologico e problema periodico
Premesse sul teorema di Stone-Weierstrass. Teorema di esistenza
e unicità del grado di Brouwer.
Calcolo del grado per situazioni particolari: applicazioni lineari,
funzioni regolari con valore di riferimento regolare, indice di
avvolgimento nel piano. Teorema del punto fisso di Brouwer e teorema di
Poincaré-Miranda. Cenni sul grado di Leray-Schauder. Il problema
periodico. Sotto e sopra soluzioni. Il principio di continuazione.
Oscillatori asimmetrici.
2. Calcolo differenziale
Differenziale di Frechét e di Gateaux di una funzione in spazi
normati. Teorema della funzione implicita. Differenziali di ordine
superiore. Simmetria del differenziale secondo. La formula di Taylor.
3. Metodi variazionali e problema periodico
Minimizzazione. Il Principio di Ekeland. La ricerca dei punti di sella:
teoremi di tipo "min-max". Il teorema del passo di montagna di
Ambrosetti e Rabinowitz e il teorema del punto di sella di Rabinowitz.
Applicazioni al problema periodico. La condizione di Ahmad-Lazer-Paul.
L'equazione del pendolo forzato e sue generalizzazioni. La teoria di Lusternik-Schnirelmann.
TESTI CONSIGLIATI:
1. N. G. Lloyd, Degree theory, Cambridge Univ. Press, 1978.
2. A. Avez, Calcul differentiel, Masson, Parigi, 1997.