MODELLI MATEMATICI
programma a.a. 2020/21
proff. S. Maset e M. Zennaro

Trattazione numerica (prof. Zennaro)
Richiami sui metodi Runge-Kutta per equazioni del primo ordine. Cenni sui metodi continui. Costante di Lipschitz unilaterale destra e relazioni con lo spettro della parte simmetrica della Jacobiana. Analisi della stabilità dell’equazione del “salto in lungo” con resistenza dell’aria.

Problemi iniziali per equazioni differenziali del secondo ordine. Riduzione di problemi del secondo ordine a problemi del primo ordine. Derivazione dei metodi Runge-Kutta-Nystrom continui. Cenni su consistenza, convergenza e ordine. Caso particolare delle equazioni senza derivata prima nel membro destro. Discussione dell’equazione del “salto in lungo”.

Problemi ai limiti per equazioni differenziali del secondo ordine. Problema dei due punti. Caso lineare a coefficienti costanti. Autovalori e autofunzioni. Il metodo shooting. Equazione variazionale e utilizzo del metodo di Newton. Metodi alle differenze finite: schemi del secondo ordine. Cenni sulla risoluzione del sistema nonlineare: metodo di Newton. Caso lineare: stabilità dello schema e teorema di convergenza. Cenni sull’approssimazione di autovalori e autofunzioni. Discussione di problemi con varie condizioni ai limiti (problemi periodici e modello del “bastone da passeggio”).

Nota: alcuni dei metodi numerici studiati vengono implementati in linguaggio Octave.

Bibliografia

- Hairer E., Norsett S. P., Wanner, G., Solving Ordinary Differential Equations I – Nonstiff Problems, Springer-Verlag, USA, 1993 [Dip.Sc.Mat. 065/G 0521]
- Stoer J., Bulirsch R., Introduzione all’Analisi Numerica, vol. 2, Zanichelli, Italia, 1984
- Dispense del docente

MATHEMATICAL MODELS
programme a.a. 2020/21
proff. S. Maset and M. Zennaro

Numerical treatment (prof. Zennaro)

Primers on Runge-Kutta methods for equations of the first order. Hints of continuous methods. Right-hand side Lipschitz constant and connections with the spectrum of the Jacobian. Stability analysis of the “long jump” equation with air restistance.

Initial value problems for second order equations. Reduction of second order preoblems to first order ones. Derivation of continuous Runge-Kutta-Nystrom methods. Hints of consistency, convergence and order. The particular case of equations without first derivative in the right-hand side. Discussion of the “long jump” equation.

Boundary value problems for second order differential equations. Two-point boundary value problems. Linear case with constant coeffcients. Eigenvalues and eigenfunctions. The shooting method. The variational equation and use of the Newton method. Finite difference methods: second order schemes. Hints of the solution of the nonlinear system: Newton's method. The linear case: stability of the scheme and convergence theorem. Hints of the approximation of eigenvalues and eigenfunctions. Discussion of problems with various boundary conditions (periodic problems and the “walking stick” model).

Note: some of the studied numerical methods are implemented in Octave language.

Bibliography

- Hairer E., Norsett S. P., Wanner, G., Solving Ordinary Differential Equations I – Nonstiff Problems, Springer-Verlag, USA, 1993 [Dip.Sc.Mat. 065/G 0521]

- Stoer J., Bulirsch R., Introduzione all’Analisi Numerica, vol. 2, Zanichelli, Italia, 1984
- Notes supplied by the teacher