MODELLI
programma a.a. 2007/08
proff. A. Nocentini e M. Zennaro


Trattazione analitica (prof. Nocentini)
Il procedimento di modellizzazione in generale. Regole di modellizzazione.
Il problema del getto del peso.Il problema del salto in lungo: modello di ordine zero e soluzione, modello più accurato e soluzione approssimata, valutazione dell'influenza di variazioni della resistenza dell'aria e della gravità sulla lunghezza del salto. Linearizzazione di un problema matematico, soluzione per approssimazioni successive, per sviluppo in serie di potenze. Il problema dell'oggetto lanciato dall'astronave.
Il problema della riproduzione cellulare: modellizzazione discreta e continua; crescita esponenziale e logistica. Descrizione probabilistica. Varianza e scarto quadratico. Regressione lineare. Il caso della popolazione degli Stati Uniti. Problemi preda-predatore: il modello di Rosenzweig-MacArthur.
Il decadimento radioattivo. Il problema della datazione col metodo del carbonio 14.
Modellizzazione del pendolo e il problema dell'altalena.
Il problema della catena che sostiene il ponte sospeso: modellizzazione, tensione e distribuzione di massa, equazioni e condizioni di esistenza della soluzione, problema matematico e soluzione, il caso del filo uniforme, la catenaria. Il problema del filo appoggiato a due carrucole.
Modellizzazione del problema del bastone da passeggio. Il problema matematico. Soluzione: biforcazione. Il problema della mensola. Il problema del silos.
Modelli in economia: il modello di Goodwin.

Trattazione numerica (prof. Zennaro)
Richiami sui metodi Runge-Kutta per equazioni del primo ordine. Cenni sui metodi continui e sul calcolo approssimato della primitiva delle soluzioni. La costante di Lipschitz unilaterale destra e relazioni con lo spettro della parte simmetrica della Jacobiana. Analisi della stabilità dell’equazione del salto in lungo con resistenza dell’aria.
Problemi iniziali per equazioni differenziali del secondo ordine. Riduzione di problemi del secondo ordine a problemi del primo ordine. Derivazione dei metodi Runge-Kutta-Nystrom. Cenni su consistenza, convergenza e ordine. Caso particolare delle equazioni senza derivata prima nel membro destro. Discussione dell’equazione del salto in lungo.
Problemi ai limiti per equazioni differenziali del secondo ordine. Problema dei due punti. Caso lineare e coefficienti costanti. Autovalori ed autofunzioni. Il metodo shooting semplice. Equazione variazionale ed utilizzo del metodo di Newton. Metodi alle differenze finite: schemi del secondo ordine. Cenni sulla risoluzione del sistema nonlineare: metodo di Newton. Caso lineare: stabilità dello schema e teorema di convergenza. Cenni sull’approssimazione di autovalori ed autofunzioni. Discussione di problemi con varie condizioni ai limiti: il problema del bastone da passeggio e del silos.

Bibliografia
- Burghes D. N., Huntley I. e McDonald J., Applying Mathematics, John Wiley & Sons, USA, 1982 [Ist.Mat IV D 42].
- Fulford G., Forrester P. e Jones A., Modelling with Differential and Difference Equations, Cambridge University Press, UK, 1997 [Dip.Sc.Mat. 034/C 0534].
- Hairer E., Norsett S. P., Wanner, G., Solving Ordinary Differential Equations I – Nonstiff Problems, Springer-Verlag, USA, 1993 [Dip.Sc.Mat. 065/G 0521].
- Stoer J., Bulirsch R., Introduzione all’Analisi Numerica, vol. 2, Zanichelli, Italia, 1984
- Dispense dei docenti