ANALISI NUMERICA 2 (6 cfu)
programma a.a. 2019/20
proff. P. Novati e M. Zennaro


Risoluzione di sistemi lineari
Richiami sui metodi classici diretti basati sulla fattorizzazione LU; metodi iterativi basati sullo splitting della matrice dei coefficienti e risultati di convergenze; metodo di Richardson; metodi di tipo gradiente e metodo del gradiente coniugato; metodi proiettivi di tipo Krylov; metodi basati sull'algoritmo di Arnoldi e analisi della convergenza.

Risoluzione di sistemi non lineari
Richiami sul caso scalare, metodo di bisezione, iterazione di punto fisso, metodo di Newton e delle secanti; ordine di convergenza; ipotesi di lavoro nel caso vettoriale; iterazione di punto fisso e criteri di convergenza; metodo di Newton; metodi di tipo Newton; Metodo di Broyden; teoremi di convergenza.

Minimizzazione di funzionali
Trasformazione del problema in un'equazione non lineare; studio dell'applicabilitą del metodo di Newton e delle sue varianti; metodi di discesa; costruzione delle direzioni di discesa; strategia del line-search; algoritmo del backtraking; risultati di convergenza.

Approssimazione di funzioni
Definizione di sistema di polinomi ortogonali e proprietą fondamentali; interpolazione su zeri di polinomi ortogonali; teorema di Erdos-Turan; esempi di polinomi ortogonali. Interpolazione mediante funzioni spline cubiche: spline naturali, periodiche e vincolate agli estremi. Proprietą di minima energia. Calcolo delle funzioni spline cubiche interpolanti: sistema lineare dei momenti.

Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie ai valori iniziali
Richiami sui metodi Runge-Kutta. Integrazione automatica a passo variabile: proporzionalitą tra tolleranza sull'errore locale ed errore globale, scelta del passo d'integrazione. Strategie per la stima dell'errore locale: coppie di metodi di tipo Runge-Kutta-Fehlberg e di tipo Dormand- Prince.

Bibliografia
- Y. Saad (2000). Iterative methods for sparse linear systems. Springer
- J.E. Dennis, R.B. Schnabel (1996). Numerical methods for unconstrained optimization and nonlinear equations. SIAM
- V. Comincioli (1995). Analisi numerica. McGraw-Hill
- Dispense dei docenti

 

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NUMERICAL ANALYSIS 2 (6 cfu)
programme a.a. 2019/20
proff. P. Novati and M. Zennaro

Solution of linear systems
Background on classical direct methods based on the LU factorization; iterative methods based on the splitting of the coefficient matrix and convergence results; Richardson method; methods of gradient type and Conjugate gradient method; Krylov projection methods; Krylov methods based on the Arnoldi algorithm and convergence results.

Solution of nonlinear systems
Background on the scalar case, bisection method, fixed-point iteration, Newton and secant method; convergence order; working hypothesis in the nonscalar case; fixed-point iteration and convergence criteria; Newton's method; Newton type methods; Broyden method; convergence theorems.

Minimization of functionals
Transformation of the problem into a nonlinear equation; applicability study of Newton's method and its variants; descent methods; construction of the descent directions; line-search strategy; backtraking algorithm; convergence results.

Approximation of functions
Definition of system of orthogonal polynomials and main properties; interpolation at zeros of orthogonal polynomials; Erdos-Turan's theorem; examples of orthogonal polynomials.
Cubic spline function interpolation: natural, periodic and constrained splines. Minimum energy property. Computation of the cubic interpolating splines: the momentum linear system.

Numerical methods for initial value problems of ordinary differential equations
Primers on Runge-Kutta methods.
Automatic integration with variable stepsize: local error tolerance and global error proportionality, choice of the integration stepsize. Strategies for the local error estimate: Runge-Kutta-Fehlberg and Dormand-Prince pairs.

Bibliography
- Y. Saad (2000). Iterative methods for sparse linear systems. Springer
- J.E. Dennis, R.B. Schnabel (1996). Numerical methods for unconstrained optimization and nonlinear equations. SIAM
- V. Comincioli (1995). Analisi numerica. McGraw-Hill
- Notes supplied by the teachers