Moti liberi e forzati di un modello di casa a due piani

(Esempio di sistema di equazioni differenziali lineari del II ordine)

1. Moto libero


Il disegno rappresenta un semplice modello matematico per studiare le oscillazioni proprie di una casa a due piani. Si vogliono studiare i moti orizzontali del primo e del secondo piano. Nelle tre fasi del disegno si mostra come i movimenti dei due piani possono essere ricondotti allo studio di due masse puntiformi ciascuna soggetta a forze elastiche di richiamo (dovute all'azione dei pilastri verticali), schematizzate dal seguente disegno:

Sulla prima massa agiscono le forze elastiche di entrambe le molle, sulla seconda massa agisce la forza elastica della seconda molla. Scrivendo le equazioni di moto del sistema dei due punti (o con le leggi di Newton o con le equazioni di Lagrange, per gli iniziati) si arriva ad un sistema di due equazioni differenziali.  Precisamente, il problema diventa il seguente: determinare le funzioni x(t) e y(t) in modo che, posto

il vettore X(t) sia soluzione dell'equazione differenziale:

con le condizioni iniziali:

Il parametro M è il rapporto tra la massa del secondo piano della casa e la massa del primo piano, mentre il parametro C è il rapporto tra la costante elastica dei pilastri del secondo piano e la costante elastica dei pilastri del primo piano (per la precisione si noti che il parametro t è stato opportunamente riscalato).

Soluzioni dell'equazione differenziale.

Consideriamo innanzitutto l'equazione (1). Si dimostra che le sue soluzioni in questo caso devono essere del tipo seguente:

oppure


Sostituendo queste funzioni nell'equazione (1) si trovano le seguenti condizioni:

e

Dettagli dei calcoli.

Definendo i parametri a, b, c, d, e (in funzione di M e C) nel seguente modo:

si ottengono le seguenti 4 soluzioni indipendenti di (1) (dette modi normali del sistema):

                       (2)

La soluzione generale di (1) sarà quindi una combinazione lineare (con coefficienti rispettivamente l1,l2,l3,l4) delle 4 soluzioni scritte sopra. Le condizioni (1') danno i seguenti valori per i coefficienti lambda:

Il seguente applet visualizza i risultati ottenuti con il presente modello. Si noti che si possono modificare i parametri C, M e le condizioni iniziali x0, y0, x'0 e y'0. I parametri "vel" e "ftg" modificano la velocità dell'animazione e il numero di fotogrammi visionati in un secondo. La finestra che si apre cliccando su "mostra grafico" traccia il grafico di x(t) (in rosso) e di y(t) (in blu) in funzione del tempo. I pulsanti "moto in fase" e "moto in controfase" definiscono i valori iniziali per ottenere le soluzioni periodiche (2), cioè i modi normali del sistema.


 

2. Moto forzato

Durante un terremoto le fondamenta della casa si muovono. Nell'applet che segue consideriamo un moto oscillatorio sinusoidale di ampiezza A e di frequenza F (e fase iniziale 0). Un osservatore solidale con le fondamenta deve allora tenere conto delle forze di inerzia che sono per ogni piano:
 -(massa del piano) * (accelerazione delle fondamenta).
Con le stesse notazioni del caso precedente il problema da risolvere è:

L'applet che segue mostra il moto della casa (supposta inizialmente ferma nella posizione di equilibrio). In questo esempio si possono modificare i parametri M e C e, con il relativo pulsante, calcolare le frequenze proprie della vibrazione libera. Inoltre si possono scegliere i parametri A ed F (ampiezza e frequenza dell'onda del terremoto). I parametri "vel" e "ftg" hanno il significato precedente.  Si noti che se F è molto vicina alla frequenza del moto in fase F1, il moto della casa entra in risonanza con l'onda di terremoto, cioè l'ampiezza di oscillazione aumenta (provare per credere!). Analoga osservazione per il moto in controfase.