Da qualunque permutazione dei numeri [1,2,3,4,5] (o [1,2,3,4,5,6,7]) si parta, con le regole stabilite si reisce sempre a riordinare le caselle. Un criterio per descrivere la via da seguire, può essere il seguente:
passo 1: Trovare una sequenza di mosse per mettere l'ultima casella all'ultimo posto (nei due esempi, la casella 5 nel posto 5 o la casella 7 nel posto 7 rispettivamente);
passo 2: Dopo il passo precedente, il problema si è semplificato: se escludiamo l'ultima casella e l'ultimo pulsante, adesso è come avere a disposizione un gioco dello stesso tipo di quelli considerati, ma con una casella in meno e un tasto di scambio in meno, quindi si può riapplicare il passo 1 a questo nuovo gioco.
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La risposta anche qui è affermativa. Un metodo per ottenere la soluzione è il seguente:
 passo 1: se la casella che si trova al primo posto non è la 5 e contiene un numero che è superiore al numero della casella al secondo posto, effettua lo scambio e va al passo 2;
altrimenti va direttamente al passo 2;
passo 2: se le caselle sono tutte al loro posto, il gioco è finito, altrimenti effettua una traslazione e va al passo 1.

Naturalmente il metodo qui descritto funziona per una sequenza di caselle comunque lunga.
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La soluzione c'è: probabilmente la più veloce è la seguente:
1) cliccare due volte sul tasto della traslazione;
2) cliccare una volta sul tasto dello scambio.
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Il gioco 5 NON si riesce a risolvere. Vediamo ora di dare una spiegazione del perchè.

Per facilitare il ragionamento pensiamo al seguente caso concreto: cinque persone sono in coda allo sportello di un ufficio, ma lo sportello chiude per riaprire più tardi. Affinchè le 5 persone non perdano il loro turno, ad ognuna di esse viene dato un numero, corrispondente alla posizione che occupava al monento della chiusura. Pertanto la persona al primo posto riceve il numero 1, la persona al secondo posto riceve il numero 2 e cosi' via. Poco prima della riapertura dello sportello, le 5 persone ritornano alla spicciolata e, non curanti del numero che hanno in tasca, si rimettono in coda nel nuovo ordine d'arrivo. Succede così che al primo posto si trova la persona con il numero 3, al secondo posto la persona con il numero 5, poi quella con il nunero 2, poi quella con il numero 4 e infine quella con il numero 1. Potremo riassumere la situazione con questa sequenza di numeri (o permutazione):

che indicheremo anche con [3,5,2,4,1] e che è proprio la permutazione con cui inizia il gioco 4. Quello che sicuramente succede nell'attesa che lo sportello riapra è che le 5 persone incominciano a litigare: ognuna di esse ha infatti sicuramente contato il numero di "fregature" che ha ricevuto dalla nuova sistemazione, che per alcune di esse non è certamente favorevole. Per esempio, la persona 2, cioè quella che ha in tasca il numero 2 è stata "fregata" da ben due persone: quella che aveva il numero 3 (e che ora occupa la prima posizione) e quella che aveva il numero 5 (e che ora occupa la seconda posizione). Vediamo quante sono le "fregature" o, diciamo piuttosto, sorpassi, nel nostro esempio:
la persona con il numero 3 è stata sorpassata da 0 persone;
la persona con il numero 5 è stata sorpassata da 0 persone;
la persona con il numero 2 è stata sorpassata da 2 persone (quelle con il numero 3 e con il numero 5);
la persona con il numero 4 è stata sorpassata da 1 persona (quella con il numero 5);
la persona con il numero 1 è stata sorpassata da 4 persone (tutte le altre...);
In totale i sorpassi sono stati 7 (=0+0+2+1+4).
Supponiamo ora di voler riordinare la fila delle 5 persone con le due regole del gioco 5 cioè con:
R1) l'ultima persona passa al primo posto e tutte le altre scalano di un posto;
R2) si scambiano le prime due persone e contemporaneamente le ultime due persone della fila.
Se ad esempio applichiamo la regola R1 alla nostra fila di persone, otteniamo la nuova fila (o, come detto, permutazione):

In questo caso il numero di sorpassi è passato a 3, cioè la regola R1 lo ha fatto diminuire di 4. Si può vedere che da qualunque configurazione si parta, sia la regola R1 sia la regola R2 fanno aumentare o diminuire i sorpassi di un numero pari. (Per convincersi, basta provare a contare i sorpassi in un po' di configurazioni prodotte dal gioco 5). Vediamo allora se è possibile, applicando solo R1 e R2, ottenere la configurazione:

(cioè la permutazione ove ognuno occupa il posto che dovrebbe effettivamente occupare). Se contiamo i sorpassi che ci sono in quest'ultima permutazione, vediamo che sono 0. Se questa configurazione fosse ottenibile a partire dalla permutazione [3,5,2,4,1] (quella con 7 sorpassi considerata all'inizio), significherebbe che, partendo dal numero 7 e aggiungendogli o sottraendogli solo numeri pari sarebbe possibile ottenere 0. Questo naturalmente è impossibile, per il semplice fatto che dispari più pari fa dispari (e il numero 0 è pari). Dunque è impossibile risolvere il gioco 5.
In matematica non si usa parlare di fregature o sorpassi, ma di classi. Quindi se il numero di sorpassi è pari, si dice che la classe della permutazione è pari, altrimenti la classe è dispari: cosi' la permutazione [3,5,2,4,1] è di classe dispari, mentre ad esempio la permutazione [3,5,4,2,1] è di classe pari.
La totalità delle permutazioni dei 5 numeri 1,2,3,4,5 di classe pari forma un oggetto matematico molto importante che si chiama il gruppo alternante A₅. Più in generale, la totalità delle permutazioni di classe pari dei numeri 1,2,...,n (calcolata nello stesso modo esposto sopra) forma quello che si chiama il gruppo alternante A_n.
Esercizio: Visto che nel gioco 5 non si riesce a ottenere la permutazione [1,2,3,4,5], cercare almeno di ottenere la permutazione [1,2,3,5,4] e la permutazione [2,1,3,4,5].
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Non è probabilmente possibile vedere immediatamente come risolvere il problema. E' pertanto opportuno porsi dei sotto-obiettivi e cercare via via di raggiungerli. Poniamoci quindi i seguenti 3 problemi:
a) rimettere a posto il numero 1;
b) rimettere a posto il numero 2;
c) rimettere a posto il numero 3.
Se si vuole riprovare il gioco dopo questo suggerimento, cliccare qui, altrimenti continuare.

Il problema a) è di facile soluzione e probabilmente non richiede ulteriori spiegazioni. Una volta risolto il problema a), il problema b) è facile se il 2 non si trova al posto del 4. In questo caso basta applicare g un numero sufficiente di volte. Se invece siamo nella configurazione in cui l'1 è al suo posto e il 2 è al posto del 4 (cioè sotto l'1), allora conviene eseguire, nell'ordine: f^-1 poi g^-1 e poi f. In questo modo l'1 è tornato a posto e il 2 non è più al posto del 4 ma è al posto del 6. Eseguendo dunque g^2 abbiamo sistemato sia l'1 sia il 2. Infine, se 1 e 2 sono al loro posto e il 3 non lo è ancora, la via da seguire può essere la seguente: f^-1 (in questo modo 1 e 2 si dispongono sulla prima colonna e non vengono mossi da g), poi ripetere g un numero sufficiente di volte, finchè il 3 va al posto giusto e infine rimettere 1 e 2 nella loro posizione con f. Quello che succede a questo punto è che necessariamente anche gli altri numeri sono andati nelle posizioni giuste. Quindi risolvere i problemi a), b) e c) da' in realtà la soluzione completa del gioco. Quest'ultima affermazione andrebbe dimostrata... Lo lasciamo come esercizio.
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La risposta alla prima domanda è affermativa. Il risultato evidenzia un noto teorema di teoria dei gruppi, che afferma che l'ordine di ogni elemento di un gruppo finito è un numero finito.
Se h:= fg, allora h^-1 è data da g^-1f^-1; se h:=fgf^-1gf², allora h^-1 è data da f^-2g^-1fg^-1f^-1. In generale, l'inversa di una qualunque mossa h si trova scrivendo nell'ordine inverso le mosse componenti h dopo aver sostituito f^-1 al posto di f, g^-1 al posto di g, f al posto di f^-1 e g al posto di g^-1 (e quindi f^-2 al posto di f² ecc.).
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Una soluzione particolarmente semplice è la seguente: ghg^-1. Il suo significato dovrebbe essere del tutto chiaro: g mette i cubetti 2, 3 e 5 nei posti (rispettivamente) 3, 6 e 2. Applicando poi h le posizioni non vengono mutate, ma semplicemente vengono ruotati i cubetti centrale alto e i due di destra, cioè proprio quei cubetti dove adesso abbiamo messo i cubetti 2, 3 e 5. Infine g^-1 rimette tutti i cubi nelle giuste posizioni.
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a) probabilmente la soluzione più semplice è fare la mossa inversa della nostra h (che, ricordiamo, è fg²f^-1g^-1fg^-1f^-1g²). Quindi si tratta della mossa: g²fgf^-1gfg²f^-1 (confronta la soluzione del problema 7).
b) Basta scambiare f con g in h.
c) Sia j la mossa definita nel punto precedente. Allora fjf^-1 fa l'effetto voluto.
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Si ottiene un nuovo elemento di H (che fa ruotare i cubi 3, 5 e 6 di 120 gradi in senso orario).
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il ragionamento per risolvere i vari punti è sempre dello stesso tipo di quello svolto nella soluzione del problema 9.
a) fhif^-1;
b) g^2fhif^-1g^2 (la mossa g^2f, prima parte della mossa qui scritta, mette il cubetto 1 al posto 2 e il cubetto 6 al posto 5);
c) f^-1gf^-1hifg^-1f (la mossa f^-1gf^-1, prima parte della mossa qui scritta, mette il cubetto 1 al posto 5 e il cubetto 6 al posto 2);
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Il gioco 7 (e quindi la parte centrale del gioco 9) è un gruppo G, il gruppo di tutte le permutazioni - compatibili con le mosse definite - delle 6 facce di 6 cubetti. L'insieme H definito nel testo è un sottogruppo normale del gruppo G (la proprietà messa in evidenza nel testo prova proprio che è normale). Infine il gioco 6 (e quindi la parte sinistra del gioco 9) è un modo di rappresentare il gruppo quoziente G/H.
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