Se si volessero mostrare tutte le configurazioni che può assumere un cubo di Rubik dedicando un solo secondo a ciascuna di esse, si impiegherebbero circa 1370 miliardi di anni (si stima che il Sole brillerà ancora circa 5 miliardi di anni...).
 
 

Gioco1:
 

Gioco 2:
 

.

Teorema. Il gruppo simmetrico S_n  è generato da 2-cicli.

(La totalità delle permutazioni dei numeri 1,2,...,n si chiama "gruppo simmetrico" e uno scambio di due caselle si chiama un "2-ciclo"; un modo alternativo per enunciare il precedente teorema è il seguente: ogni permutazione dei numeri 1,2,...,n è un prodotto di 2-cicli).
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Gioco 3:
 
 

Teorema.  Il gruppo simmetrico S_n  è generato da un 2-ciclo e da un n-ciclo.
 
 
 
 
 
 
 
 

Gioco 4:

.

Gioco 5:
 
 

cinque persone sono in coda allo sportello di un ufficio:
 

1   2   3   4   5
 
 

Lo sportello chiude. Poco prima della riapertura, le 5 persone ritornano alla spicciolata e, non curanti della posizione precedente, si rimettono in coda nel nuovo ordine d'arrivo:
 
 
 
 

3    5    2    4    1

Le 5 persone incominciano a litigare: ognuna di esse ha infatti sicuramente contato il numero di "fregature" che ha ricevuto dalla nuova sistemazione.
Vediamo quante sono le "fregature" o, diciamo piuttosto, sorpassi:

3 è stato sorpassato da 0 persone;
5 è stato sorpassato da 0 persone;
2 è stato sorpassato da 2 persone (cioè 3 e 5);
4 è stato sorpassato da 1 persona (cioè 5);
1 è stato sorpassato da 4 persone (tutte le altre...);

In totale i sorpassi sono stati 7 (=0+0+2+1+4).
 
 
 
 

Supponiamo ora di voler riordinare la fila delle cinque persone con le due regole del gioco 5 cioè con:

R1) l'ultima persona passa al primo posto e tutte le altre scalano di un posto;

R2) si scambiano le prime due persone e contemporaneamente le ultime due persone della fila.

 Esempio: R1 applicato a [3,5,2,4,1] da':
 
 

Numero sorpassi: 3 = (7 - 4). E' calato di 4, un numero pari.
 
 

R1 fa sempre aumentare o diminuire i sorpassi di un numero pari.

Analogamente R2.
 

Applicando solo R1 e R2 in qualunque modo, partendo da [3,5,2,4,1], non si può ottenere:
 
 

Gioco 6:

. 

Gioco 7:
 
 

Gioco 8:
 
 

Gioco 9: