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\input amssym.def
\input amssym


\centerline{\bf Istituzioni di matematiche}
\medskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{a.a. 1995-96}
\medskip
\centerline{Sessione autunnale}
\bigskip
\line{\hfill 2 ottobre 1996}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1}) Studiare la seguente funzione e tracciare il suo grafico:
$$
y={\rm arctang}\, (x^3)
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 2}) Provare, con il metodo di induzione, che vale: 
$$
\sum_{i=1}^n \left(i^2-3i\right) = {1 \over 3} n (n+1) (n-4)
$$


\bigskip
\noindent
{\bf 3}) Calcolare l'inversa della seguente matrice:
$$
\left(
\matrix{
\hfill 1 & \hfill 0 & -2 \cr
-2 & \hfill 1 & \hfill 4 \cr
\hfill 2 & -1 & -3 \cr
}
\right)
$$


\vfill\eject

\centerline{\bf Istituzioni di matematiche}
\medskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{a.a. 1994-95}
\medskip
\centerline{Sessione straordinaria}
\bigskip
\line{\hfill 8 febbraio 1996}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1)} Si provi per induzione che vale:
$$
\sum_{i=1}^n 4i = 2\,n^2+2n.
$$


\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Si studi la seguente funzione:
$$
y=\sqrt x \,e^{1\over 2x}
$$
e si tracci il suo grafico. 


\bigskip\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Calcolare i seguenti integrali:
$$ \int {\sin(x) \over 1 + \cos (x)} \,dx; \quad \int x e^{2x^2} \, dx; 
\quad \int {x^2+\log (x) \over x}\, dx.
$$



\vfill\eject

\centerline{\bf Istituzioni di matematiche}
\medskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{a.a. 1993-94}
\medskip
\centerline{Sessione estiva}
\bigskip
\line{\hfill 1 giugno 1994}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1)} Studiare la seguente funzione e tracciare il suo grafico:
$$
y=(x+1) \log^2(x+1).
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Si calcolino i seguenti integrali indefiniti:
$$
\int {x+3 \over x^2+1} \, dx; \quad \int {e^{\sqrt x} +\root 3 \of {x^2} 
\over \sqrt x} \, dx; \quad \int \left[x\cos(1-x^2)+\sin(x-6)\right] dx.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Quali delle seguenti funzioni sono iniettive? Giustificare la risposta. 
$$
f: \Bbb N \longrightarrow \Bbb R,\quad  \hbox{ $f(x)=x^2-1$};
$$
$$
f: \Bbb R \longrightarrow \Bbb R,\quad  \hbox{ $f(x)=x^2-7$}.
$$



\vfill\eject
\centerline{\bf Istituzioni di matematiche}
\medskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\bigskip\bigskip\bigskip
\line{ \hfill 10 febbraio 1998}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1)} Data la funzione: 
$$
f:[0,4] \longrightarrow \Bbb R \hbox{\ \ definita da: } f(x)= \left\{
\matrix{x-1 \hfill & \hbox{se $x\in [0,1]$}\hfill\cr
        2x^3-15x^2+36x-23 & \hbox{se $x \in ]1,4]$}\hfill}
\right.
$$  %
 
\item{a)} dire dove \`e continua;
\item{b)} dove \`e derivabile;
\item{c)} trovare i suoi massimi e minimi assoluti e relativi. 


\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Provare, con il metodo di induzione, che vale: 
$$
\sum_{i=1}^n (3i^2+3i)= n(n+1)(n+2)
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Dire dove per quali valori di $x$ le seguenti funzioni sono definite 
e trovare la loro derivata: 
$$
\log(x+1); \ \ \sin(\cos(3x-2));  \ \ {\log(x)\over x^2-1}.
$$

\vfill\eject

\centerline{\bf Istituzioni di matematiche}
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\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{a.a. 1993-94}
\medskip
\centerline{Sessione autunnale}
\bigskip
\line{\hfill 11 ottobre 1994}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1)} Si dica quanti sono gli zeri reali della seguente funzione:
$$
y= x^4-21x^2-18
$$
e si dia una stima approssimata del loro valore. \hfill\break
(Suggerimento: si consiglia di fare uso del teorema 
degli zeri di una funzione continua $\ldots$).

\bigskip\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Si studi la seguente funzione:
$$
y=\root 3 \of x \,e^{1/x}
$$
e si tracci il suo grafico. 


\bigskip\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Calcolare i seguenti integrali:
$$ \int \cos^3(x) \sin(x) \,dx; \quad \int {1+x \over 1+x^2} \, dx; 
\quad \int_1^{+\infty}{1 \over x^2} \, dx
$$


\vfill\eject

\centerline{\bf Istituzioni di matematiche}
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\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{a.a. 1994-95}
\medskip
\centerline{Sessione estiva}
\bigskip
\line{\hfill 6 giugno 1995}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1)} Si studi la seguente funzione e si tracci il suo grafico:
$$
y=\log(x^3-3x)+1.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Data la funzione:
$$
y=\sin(2x),
$$
calcolare l'area della regione delimitata dalla funzione e dall'asse $x$ 
nell'intervallo $[0, \pi]$.

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:
$$
y= \hbox{arcsin}\, (x^2-1), \qquad y=e^{x+3 \over x^2-1}, \qquad y=\tan (x^3).
$$

\vfill\eject

\centerline{\bf Istituzioni di matematiche}
\medskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{a.a. 1995-96}
\medskip
\centerline{Sessione autunnale}
\bigskip
\line{\hfill 14 dicembre 1996}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1)} Studiare la seguente funzione e tracciare il suo grafico:
$$
y=x\log^2(2x).
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Si calcolino i seguenti integrali indefiniti:
$$
\int {2x+1 \over x^2+1} \, dx; \quad \int x \log(2x)\, dx; 
\quad \int {2x^2+3 \over x-1} \, dx.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Provare, con il metodo di induzione, che vale (se $a\not = 1$): 
$$
\sum_{i=0}^n a^i = {a^{n+1}-1 \over  a-1}.
$$

\vfill\eject

\centerline{\bf Istituzioni di matematiche}
\medskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\bigskip\bigskip\bigskip
\line{ \hfill 14 luglio 1994}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1)} Si studi la seguente funzione: 
$$
y={x^3\over x^2-3}
$$
e si tracci il suo grafico.

\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Si calcolino i seguenti limiti: 
$$
\lim_{x \rightarrow 3} {x^3-5x^2+13x-21 \over x^3-5x^2+3x+9};
\qquad \lim_{x \rightarrow +\infty} {2x^3-5x^2+13x-21 \over 7x^3-5x^2+3x+9};
\qquad \lim_{n \rightarrow +\infty} \sin(n) {n^2-1 \over n^3-6}.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Si calcoli l'area della regione di piano delimitata dall'asse $x$,
dalle rette $x=1$ e $x=4$ e dalla curva $y=x^3-x^2+4x-12$.

\vfill\eject

\centerline{\bf Istituzioni di matematiche}
\medskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{a.a. 1994-95}
\medskip
\centerline{Sessione autunnale}
\bigskip
\line{\hfill 15 dicembre 1995}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1)} Si studi la seguente funzione e si tracci il suo grafico:
$$
y=(x^2-1)e^{x+1}.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Calcolare i seguenti integrali:
$$
\int x \log(x+1)\, dx; \qquad 
\int {\cos (x)\over 1-\sin(x)}\, dx; \qquad
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Calcolare i seguenti limiti:
$$
\lim_{x \rightarrow +\infty} {2x^2-1 \over 3x^2+1} \qquad 
\lim_{x \rightarrow 0} {\sin(3x) \over \sin(8x)}.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 4)} Trovare il determinante e l'inversa della seguente matrice:

$$
\left (\matrix{ 4&2&3\cr
                3&3&2 \cr
															1&0&1\cr}\right )
$$

\vfill\eject

\centerline{\bf Istituzioni di matematiche}
\medskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{a.a. 1993-94}
\medskip
\centerline{Sessione autunnale (prolungamento)}
\bigskip
\line{\hfill 16 dicembre 1994}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1)} Si studi la seguente funzione e si tracci il suo grafico: 
$$
y={(x^2-12)\over (x-4)}.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Si calcolino almeno due dei i seguenti integrali indefiniti:
$$
\int {x\over \sqrt{x^2-4}}\, dx, \qquad \int {x-1 \over x^2+4}\, dx, 
\qquad \int {2 x^{3}+3\,x^{2}-2\over(x+1)^{2}} \, dx. 
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} 
Sia $f: \Bbb R \longrightarrow \Bbb R$ definita da: $f(x)=x^2-1$ e 
$g: \;]-3, +\infty\,[ \longrightarrow \Bbb R$ definita da: $g(t)=\log(t+3)$. 
Si faccia vedere che allora \`e definita la funzione composta $g \circ f$ 
e si calcoli la sua derivata. 

\bigskip
\noindent
{\bf 4)} Si calcolino i seguenti limiti:
$$
\lim_{n\rightarrow +\infty} {3n^3+7n^2-4 \over n^3-2}\,; \qquad 
\lim_{n\rightarrow +\infty} {n+2 \over n^2-1} \sin(n) \,.
$$

\vfill\eject

\centerline{\bf Istituzioni di matematiche}
\medskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{a.a. 1996-97}
\medskip
\centerline{Sessione autunnale - prolungamento}
\bigskip
\line{\hfill 17 dicembre 1997}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1)} Si studi la seguente funzione e si tracci il suo grafico:
$$
y=\log(x-x^3).
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Calcolare i seguenti integrali:
$$
\int {x+1\over x-3} \, dx; \qquad \int {1-x^2 \over 1+x^2} \, dx; \qquad 
\int {\sin(x)+\cos(x)\over \cos(x)} \, dx.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Calcolare la derivata della funzione: 
$$
y= x^2-3x+1
$$
usando {\sl solamente la definizione di derivata.}

\vfill\eject


\centerline{\bf Istituzioni di matematiche}
\medskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\bigskip\bigskip\bigskip
\line{ \hfill22 aprile 1994}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1)} Nel piano cartesiano $Oxy$ si consideri la retta $r$ di 
equazione $y=3x+2$. Si trovi la retta $s$ 
simmetrica di $r$ rispetto all'origine $O(0,0)$.

\bigskip\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Si studi la seguente funzione e si tracci il suo grafico:
$$
y=(x+1) e^{1/x}.
$$

\bigskip\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Si calcoli il seguente integrale indefinito:
$$
\int { \sqrt x +1 \over \sqrt x } \,dx.
$$


\vfill\eject

\centerline{\bf Istituzioni di matematiche I}
\medskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\bigskip\bigskip\bigskip
\line{ \hfill 23 ottobre 1998}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1)} Si studi la seguente funzione: 
$$
y={9x^3\over 3x^2-1}
$$
e si tracci il suo grafico.

\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Si provi per induzione che vale:
$$
\sum_{i=1}^n i-3i^2 = -n^2(n+1)
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Si calcoli l'area della regione di piano delimitata dall'asse $x$,
dalle rette $x=1$ e $x=3$ e dalla curva $y=x^3-x^2-x-2$.

\vfill\eject


\centerline{\bf Istituzioni di matematiche}
\medskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{a.a. 1993-94}
\medskip
\centerline{Sessione estiva}
\bigskip
\line{\hfill 23 giugno 1994}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1)} Si studi la seguente funzione e si tracci il suo grafico:
$$
y=\log(x^3-9x)+1.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Si verifichi, usando la definizione di derivata come limite del 
rapporto incrementale, che vale:
$$
D(x^2+3x)=2x+3.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Si calcolino i seguenti integrali indefiniti:
$$
\int {\sqrt x+log^3(x) \over x} \, dx; \quad \int {e^{\sqrt {x+1}} \over 
\sqrt {x+1}} \, dx. 
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 4)} Si calcolino i seguenti limiti di successioni:
$$
\lim_{n\rightarrow +\infty} {\sin(3n) \over n}; \quad 
\lim_{n\rightarrow +\infty} {6n^2+3n-5 \over 4n^2-7n+5}.
$$

\vfill\eject


\centerline{\bf Istituzioni di matematiche I}
\medskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{a.a. 1997-98}
\medskip
\centerline{Sessione autunnale}
\bigskip
\line{\hfill 23 settembre 1998}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1)} Si studi la seguente funzione e si tracci il suo grafico:
$$
y=\log(32x^2-x^4).
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Calcolare i seguenti integrali: 
$$
\int {2x^2+3 \over x-2} \, dx; \quad \int e^{2x} \cos(x) \, dx; \quad 
\int x\sqrt{x^2-1} \, dx. 
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Scrivere il polinomio di Taylor di $f(x)=x^2+\log(x+1)$, con valore
iniziale $x_0=1$ e con $n=6$.



\vfill\eject


\centerline{\bf Istituzioni di matematiche}
\medskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{a.a. 1995-96}
\medskip
\centerline{Sessione autunnale}
\bigskip
\line{\hfill 24 ottobre 1996}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1}) Data la funzione $f : \Bbb R \longrightarrow \Bbb R$ definita da:
$$
f(x):=  \left\{\eqalign{\hbox{$x^2+x-1$} & \quad \hbox{ se $-1 \leq x \leq 1$} \cr
                        1\qquad & \quad \hbox{ se $ x>1 $ o $ x<-1$}\cr
}\right.
$$
dire per quali valori di $x$ \`e continua e per quali \`e derivabile. Scrivere 
un'espressione per la derivata (dove esiste).

\bigskip
\noindent
{\bf 2}) Calcolare i seguenti integrali:
$$
\int { e^x \over e^x+1} \, dx, \qquad \int {x^2-2 \over x-2} \, dx,\qquad
\int{x+\sqrt x \over 2 x^2} \, dx.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3}) Calcolare l'inverso, nel campo $\Bbb C$, di 
$ 3-2i\,$;  calcolare poi $\left({1\over 2}+ i {\sqrt 3 \over 2}\right)^7$.

\bigskip
\noindent
{\bf 4}) 
Studiare la seguente funzione e tracciare il suo grafico:
$$
y= { x^2 \over 1-3x}.
$$

\vfill\eject

\centerline{\bf Istituzioni di matematiche}
\medskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{a.a. 1995-96}
\medskip
\centerline{Sessione straordinaria}
\bigskip
\line{\hfill 24 aprile 1997}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1}) Scrivere il polinomio di Taylor $P_6(x)$ (cio\`e di grado $6$) 
della funzione $f(x)=1/x$ relativo al punto $x_0=1$.

\bigskip
\noindent
{\bf 2}) Calcolare i seguenti integrali: 
$$
\int {x^2-4 \over x-3}\, dx, \qquad \int (x^3+x\sin(x))\,dx,\qquad
\int {3x^4 \over x^2+1}\,dx.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3}) Studiare la funzione:
$$f(x)=\sqrt{x^3-1 \over x}
$$
e tracciare il suo grafico. 


\vfill\eject

\centerline{\bf Istituzioni di matematiche}
\medskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{a.a. 1995-96}
\medskip
\centerline{Sessione estiva}
\bigskip
\line{\hfill 26 giugno 1996}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1}) Studiare la seguente funzione e tracciare il suo grafico:
$$
y={1\over \sqrt{1-x^4}}
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Scrivere il polynomio di Taylor di grado $n=5$ e con valore
iniziale $x_0=0$ della funzione $f(x)=e^x+cos(x)$.

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Provare, con il metodo di induzione, che vale:
$$
\sum_{i=1}^n 2i=n^2+n.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 4)} Calcolare i seguenti integrali:
$$
\int \cos(x)\sin(3x)\, dx, \quad \int {\log(x) \over x} \, dx,
\quad \int {x^3+\sqrt{x}\over x} \, dx
$$


\vfill\eject


\centerline{\bf Istituzioni di matematiche}
\medskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{a.a. 1996-97}
\medskip
\centerline{Sessione estiva}
\bigskip
\line{\hfill 26 giugno 1997}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1}) Provare, usando il metodo di induzione, che vale:
$$
\sum_{i=1}^n\left(i^2-3(i-1)\right) = {1 \over 3} n (n^2-3n+5).
$$

\bigskip\bigskip
\noindent
{\bf 2}) Studiare la seguente funzione e tracciare il suo grafico:
$$
f(x)={\sqrt{4-x^2} \over x}
$$

\bigskip\bigskip
\noindent
{\bf 3}) Calcolare i seguenti limiti (non usare la regola di de l'Hospital,
anche quando possibile):
$$
\lim_{x\rightarrow 0} { \sin^3 x \over (1-\cos x)\tan x}; \qquad 
\lim_{n\rightarrow +\infty} {3n^2+\sin n   \over n^2}
$$

\bigskip\bigskip
\noindent
{\bf 4}) Vezrificare, usando la definizione di limite, che vale: 
$$
\lim_{x\rightarrow + \infty} x^2+1=+\infty
$$

\vfill\eject

\centerline{\bf Istituzioni di matematiche}
\medskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{a.a. 1996-97}
\medskip
\centerline{Sessione autunnale}
\bigskip
\line{\hfill 28 ottobre 1997}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1}) Scrivere il polinomio di Taylor $P_6(x)$ (cio\`e di grado $6$) 
della funzione $f(x)=-2/x$ relativo al punto $x_0=1$.

\bigskip
\noindent
{\bf 2}) Risolvere il seguente sistema lineare (possibilmente con il 
metodo di Gauss-Jordan):
$$
\left\{
\eqalign{
x-2y+2z+2t &=-6\cr
x-2y+z+t &=-5\cr
-y+z+t&=-4\cr
}
\right.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3}) Studiare la funzione:
$$
f(x)=\arctan\left({x-1\over x}\right)
$$
e tracciare il suo grafico. 


\vfill\eject

\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{\bf Istituzioni di Matematiche}
\medskip
\centerline{Sessione estiva, II appello}
\bigskip
\line{\hfill 28  giugno 1995}

\bigskip
\noindent
{\bf 1)} Si studi la seguente funzione e si tracci il suo grafico:
$$
f(x)= {x^3 +x^2-1 \over x^2-1}.
$$


\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Risolvere il seguente sistema lineare con il metodo di 
Gauss-Jordan:
$$
\left\{\eqalign{2 x +3 y + z &= 5 \cr
         x+ 2 y +z &= 3  \cr
         2 x -y   +4 z&= 1  \cr}\right.
$$
e verificare la soluzione trovata.

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Calcolare la formula di Taylor con $n=5$ e nel punto $x_0=0$ 
della funzione:
$$ y= 2\sin x- \cos x$$
e trovare una maggiorazione per il resto $R_5(x)$ nell'intervallo $[0,1]$.

\bigskip
\noindent
{\bf 4)} Calcolare i seguenti integrali indefiniti:
$$
\int ( x^3+cos(x) )\, dx, \qquad \int \cos(x^3-1) x^2 \, dx, 
\qquad \int { x^3 \over x^4-1} \, dx.
$$

\vfill\eject


\centerline{\bf Istituzioni di matematiche}
\medskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{a.a. 1997-98}
\medskip
\centerline{Sessione straordinaria - prolungamento}
\bigskip
\line{\hfill 3 aprile 1998}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1)} Si studi la seguente funzione e si tracci il suo grafico:
$$
y=\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Calcolare i seguenti integrali:
$$
\int {6x+1\over x^2+1} \, dx; \qquad \int {\log^2(x-4)\over x-4} \, dx; \qquad 
\int {1\over \sin^2(x)\cos^2(x)} \, dx.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Calcolare i seguenti limiti: 
$$
\lim_{n\rightarrow +\infty} {(-1)^{3n} \over n^2}; \qquad \lim_{x\rightarrow 2}
{x^3-6x^2+11x-6 \over x^2-5x+6}; \qquad \lim_{x\longrightarrow +\infty} 
{x^3-7x+1 \over 2x^3-4}.
$$
(non \`e  consentito usare la regola di l'Hospital, anche quando applicabile).


\vfill\eject

\centerline{\bf Istituzioni di matematiche}
\medskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{a.a. 1995-96}
\medskip
\centerline{Sessione estiva}
\bigskip
\line{\hfill 3 giugno 1996}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1}) Provare, con il metodo di induzione, che per ogni intero 
$n \geq 1$, l'espressione $n^3+2n$ \`e divisibile per $3$.

\bigskip
\noindent
{\bf 2}) Verifiare, usando la definizione di limite, che vale:
$$
\lim_{x \rightarrow 0^+} \left(1 + {1 \over x} \right) = +\infty.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3}) Scrivere in forma trigonometrica il numero
complesso $2 + 2 i$ e calcolare la sua settima e ottava potenza.

\bigskip
\noindent
{\bf 4}) Studiare la seguente funzione e tracciare il suo grafico:
$$
y= { x^2 \over 2-x}.
$$


\vfill\eject


\centerline{\bf Istituzioni di matematiche I}
\medskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{a.a. 1997-98}
\medskip
\centerline{Sessione estiva}
\bigskip
\line{\hfill 3 giugno 1998}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1}) Provare, usando il metodo di induzione, che vale:
$$
D\left(\root 3 \of {x^n}\right)={n \over 3} \,\root 3 \of {x^{n-3}}
$$
\bigskip
\noindent
{\bf 2}) Calcolare i seguenti integrali: 
$$
\int_1^2 {x^2+x-1 \over x-3}\, dx, \qquad \int (x^2+x^2\cos(x))\,dx,\qquad
\int {3x\over x^2+5} \,dx.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3}) Studiare la funzione:
$$
f(x)=\ln \left({x \over x^2+4} \right)
$$
e tracciare il suo grafico. 


\vfill\eject


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\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{a.a. 1994-95}
\medskip
\centerline{Sessione autunnale}
\bigskip
\line{\hfill 30 ottobre 1995}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1)} Si studi la seguente funzione e si tracci il suo grafico:
$$
y=\log(1-x^2).
$$
(suggerimento: limitarsi a calcolare la derivata seconda, senza studiarla)

\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Calcolare i seguenti integrali:
$$
\int {x^3-7x \over x-1}\, dx; \qquad 
\int {2x^3\over x^4+1}\, dx; \qquad
\int {\cos(7x)+\sin(9x)}\, dx.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Scrivere la formula di Taylor di $f(x)=x^2+\log(x)$, con valore
iniziale $x_0=0$ e con $n=6$.

\bigskip
\noindent
{\bf 4)} Trovare l'inversa della seguente matrice:

$$
\left (\matrix{ 1&0&-1\cr
                4&1&-4 \cr
															-3&-1&4\cr}\right )
$$

\vfill\eject


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\medskip
\centerline{Sessione autunnale}
\bigskip
\line{\hfill 4 ottobre 1994}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1)} Si studi la seguente funzione e si tracci il suo grafico: 
$$
(2x+1) (x-1)\sqrt{1+x}.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Si calcolino i seguenti integrali indefiniti:
$$
\int \sin(3 x)e^{\cos(3x)} \, dx; \quad\int \left(x^3+
{6x \over 3+x^2}\right)\, dx; \quad\int \root  3 \of {x+1} \, dx;
\quad \int e^x \cos(2 x) \, dx.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Si verifichi, usando la {\sl definizione} di limite, che vale:
$$
\lim_{x \rightarrow 3} x^2-1 = 8.
$$


\bigskip
\noindent
{\bf 4)} Dire per quali valori di $x$ la funzione $y=\, \mid x^2-8x+12 \mid $
\`e derivabile. 

\vfill\eject


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\centerline{Sessione autunnale}
\bigskip
\line{\hfill 4 ottobre 1995}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1)} Si studi la seguente funzione e si tracci il suo grafico:
$$
y=\log(8x^2-x^4).
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Calcolare i seguenti integrali (indefiniti o impropri).
$$
\int {x^2-7x \over x+1}\, dx; \qquad 
\int_1^{+\infty} {2\over x^4}\, dx; \qquad
\int {\cos(x)+\sin(x) \over \cos(x)-\sin(x)}\, dx.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Risolvere, a scelta, uno dei seguenti esercizi:
\item{a)} Trovare tutte le radici complesse dell'equazione:
$$ x^4-1$$
e verificare il risultato;
\item{b)} Trovare l'inversa della seguente matrice:
$$
\left (\matrix{ 1&0&-2\cr
                3&1&-6 \cr
															-3&-1&7\cr}\right )
$$
e verificare il risultato. 

\vfill\eject


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\centerline{Sessione autunnale}
\bigskip
\line{\hfill 6 ottobre 1997}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1)} Sia $f: \Bbb R \longrightarrow \Bbb R$ la funzione definita da:
$$
f(x)=x+ |x^2-1|
$$

a) Per quali valori di $x$ la funizione \`e continua?

b) Per quali derivabile?

c) dove \`e crescente e decrescente?

d) trovare massimi e minimi assoluti e relativi.

\noindent
Giustificare le risposte.

\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Si calcolino i seguenti integrali indefiniti:
$$
\int {3x+1 \over x^2+1} \, dx; \quad \int x \cos(x)\, dx; 
\quad \int {x^2+1 \over x-1} \, dx.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Si verifichi, usando la definizione di derivata come limite del 
rapporto incrementale, che vale:
$$
D(x^2-4x)=2x-4.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 4)} Si calcoli l'inversa della seguente matrice:
$$
\left(
\matrix{1 & 2 & 0 \cr
        4 & 9 & 1 \cr
        3 & 6 & 1 \cr
}
\right).
$$


\vfill\eject


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\centerline{a.a. 1995-96}
\medskip
\centerline{Sessione straordinaria}
\bigskip
\line{\hfill 6 febbraio 1997}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1}) Trovare tutte le funzioni $f: \; ]0,+\infty[ \longrightarrow \Bbb R$ 
che hanno per derivata 
$${x^4+ \log(x) \over x};$$
trovare poi
una funzione 
$f: \Bbb R \longrightarrow \Bbb R$ che ha la stessa derivata della funzione $g:
\Bbb R \longrightarrow \Bbb R$ definita da 
$$
g(x)=(2+\cos(x))^{x^2e^x}
$$ e tale che $f(0)=5.$

\bigskip
\noindent
{\bf 2}) Calcolare i seguenti limiti:
$$
\lim_{x \rightarrow 0} {\sin(8x) \over \sin(3x)}; \qquad \lim_{x\rightarrow 1}
{x^2-1 \over x^3-4x^2+4x-1}; \qquad \lim_{x\rightarrow +\infty}
{x^2-1 \over x^3-4x^2+4x-1}.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3}) 
Studiare la seguente funzione e tracciare il suo grafico:
$$
y= {1 \over e^{2x^2+4x}}.
$$

\vfill\eject


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\medskip
\centerline{Sessione estiva}
\bigskip
\line{\hfill 6 settembre 1996}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1}) Studiare la seguente funzione e tracciare il suo grafico:
$$
y=\log (x^2-4)
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 2}) Data la funzione $ f: \Bbb R \longrightarrow \Bbb R$ definita da: 
$f(x)=x^2+3$, dire se \`e iniettiva o suriettiva. Sia poi $g:\Bbb C
\longrightarrow \Bbb C$ definita dalla stessa equazione, cio\`e $g(x)=x^2+3$. 
Stabilire anche in questo caso se $g$ \`e iniettiva o suriettiva. 

\bigskip
\noindent
{\bf 3}) Calcolare i seguenti integrali: 
$$
\int {x^2+5 \over x-4} \, dx; \quad \int e^{2x} \sin(x) \, dx; \quad 
\int x\sqrt{x^2-1} \, dx. 
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 4}) Calcolare i seguenti limiti di successioni: 
$$
\lim_{n\rightarrow +\infty} n (3+\cos (n)); \quad 
\lim_{n\rightarrow +\infty} {3+(-1)^n \over  2n+5}; \quad
\lim_{n\rightarrow +\infty} {4n^3+6n-3 \over 2n^3-5n+1}.
$$

\vfill\eject


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\medskip
\centerline{Sessione straordinaria}
\bigskip
\line{\hfill 7 febbraio 1995}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1)} Siano $f(x)$ e $g(x)$ due funzioni definite da:
$$ f(x)= { e^{x^2} \over x^2}, \qquad g(x)= \log {x^2-1 \over x-2}.$$
Si determini: 
\itemitem{a)} l'insieme di definizione di $f$ e di $g$;
\itemitem{b)} per quali di $x$ sono positive, nulle, negative;
\itemitem{c)} gli intervalli in cui sono crescenti, decrescenti;
\itemitem{d)} i massimi e i minimi relativi.

\bigskip\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Calcolare i seguenti integrali indefiniti:
$$ \int \left( \cos(x) \sin^2(x) + x e^x \right)\,dx; \quad 
\int {\root 3 \of x +2x \over \sqrt x}\, dx.$$

\bigskip\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Calcolare i seguenti limiti:
$$\lim_{n\rightarrow +\infty} {7 \cos (n) +2 \sin(n)\over n},\quad
\lim_{x\rightarrow 1} {\sqrt x -1 \over x-1}, 
\quad \lim_{x\rightarrow 0} {1-\cos(2x) \over x^2}.$$

\vfill\eject


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\medskip
\centerline{Sessione estiva}
\bigskip
\line{\hfill 9 giugno 1997}
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1}) Provare, usando il metodo di induzione, che vale:
$$
D\left(\sqrt{x^n}\right)={n \over 2} \sqrt{x^{n-2}}.
$$
\bigskip
\noindent
{\bf 2}) Calcolare i seguenti integrali: 
$$
\int_5^6 {x^2-1 \over x-3}\, dx, \qquad \int (x^2+x^2\sin(x))\,dx,\qquad
\int {1+({\rm tang}\, x)^2 \over{\rm tang}\, x}\,dx.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3}) Studiare la funzione:
$$f(x)={1 \over e^{(x^2-x)}}
$$
e tracciare il suo grafico. 


\bye
