Istituzioni di matematiche Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1995-96 Sessione autunnale

2 ottobre 1996

1) Studiare la seguente funzione e tracciare il suo grafico:

y = arctang (x^{3})

2) Provare, con il metodo di induzione, che vale:

∑_{i=1}^{n} (i^{2} − 3i) = \frac{1}{3}n(n + 1)(n − 4)

3) Calcolare l’inversa della seguente matrice:

( \begin{matrix}1 & 0 & −2 \\ −2 & 1 & 4 \\ 2 & −1 & −3 \end{matrix} )

Istituzioni di matematiche Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1994-95 Sessione straordinaria

8 febbraio 1996

1) Si provi per induzione che vale:

∑_{i=1}^{n} 4i = 2 n^{2} + 2n.

2) Si studi la seguente funzione:

y = \sqrt{x} e^{\frac{1}{2x}}

e si tracci il suo grafico.

3) Calcolare i seguenti integrali:

∫ \frac{sin(x)}{1 + cos(x)} dx; ∫ xe^{2x^{2}} dx; ∫ \frac{x^{2} + log(x)}{x} dx.

Istituzioni di matematiche Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1993-94 Sessione estiva

1 giugno 1994

1) Studiare la seguente funzione e tracciare il suo grafico:

y = (x + 1) log^{2}(x + 1).

2) Si calcolino i seguenti integrali indefiniti:

∫ \frac{x + 3}{x^{2} + 1} dx; ∫ \frac{e^{\sqrt{x}} + ^{3} \sqrt{x^{2}}}{\sqrt{x}} dx; ∫ [x cos(1 − x^{2}) + sin(x − 6)] dx.

3) Quali delle seguenti funzioni sono iniettive? Giustificare la risposta.

f : ℕ ⟶ ℝ, f(x) = x^{2} − 1;

f : ℝ ⟶ ℝ, f(x) = x^{2} − 7.

Istituzioni di matematiche

Corso di laurea in Scienze Geologiche

10 febbraio 1998

1) Data la funzione:

f : [0, 4] ⟶ ℝ definita da: f(x) = \{ \begin{matrix}x − 1 & se x ∈ [0, 1] \\ 2x^{3} − 15x^{2} + 36x − 23 & se x ∈]1, 4] \end{matrix}

a) dire dove è continua;

b) dove è derivabile;

c) trovare i suoi massimi e minimi assoluti e relativi.

2) Provare, con il metodo di induzione, che vale:

∑_{i=1}^{n}(3i^{2} + 3i) = n(n + 1)(n + 2)

3) Dire dove per quali valori di x le seguenti funzioni sono definite e trovare la loro derivata:

log(x + 1); sin(cos(3x − 2)); \frac{log(x)}{x^{2} − 1}.

Istituzioni di matematiche Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1993-94 Sessione autunnale

11 ottobre 1994

1) Si dica quanti sono gli zeri reali della seguente funzione:

y = x^{4} − 21x^{2} − 18

e si dia una stima approssimata del loro valore. (Suggerimento: si consiglia di fare uso del teorema degli zeri di una funzione continua …).

2) Si studi la seguente funzione:

y = ^{3} \sqrt{x} e^{1/x}

e si tracci il suo grafico.

3) Calcolare i seguenti integrali:

∫ cos^{3}(x) sin(x) dx; ∫ \frac{1 + x}{1 + x^{2}} dx; ∫_{1}^{+∞} \frac{1}{x^{2}} dx

Istituzioni di matematiche Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1994-95 Sessione estiva

6 giugno 1995

1) Si studi la seguente funzione e si tracci il suo grafico:

y = log(x^{3} − 3x) + 1.

2) Data la funzione:

y = sin(2x),

calcolare l’area della regione delimitata dalla funzione e dall’asse x nell’intervallo [0, π].

3) Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:

y = arcsin (x^{2} − 1),  y = e^{\frac{x+3}{x^{2}−1}} ,  y = tan(x^{3}).

Istituzioni di matematiche Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1995-96 Sessione autunnale

14 dicembre 1996

1) Studiare la seguente funzione e tracciare il suo grafico:

y = x log^{2}(2x).

2) Si calcolino i seguenti integrali indefiniti:

∫ \frac{2x + 1}{x^{2} + 1} dx; ∫ x log(2x) dx; ∫ \frac{2x^{2} + 3}{x − 1} dx.

3) Provare, con il metodo di induzione, che vale (se a ≠ 1):

∑_{i=0}^{n} a^{i} = \frac{a^{n+1} − 1}{a − 1}.

14 luglio 1994

1) Si studi la seguente funzione:

y = \frac{x^{3}}{x^{2} − 3}

e si tracci il suo grafico.

2) Si calcolino i seguenti limiti:

lim_{x→3} \frac{x^{3} − 5x^{2} + 13x − 21}{x^{3} − 5x^{2} + 3x + 9};  lim_{x→+∞} \frac{2x^{3} − 5x^{2} + 13x − 21}{7x^{3} − 5x^{2} + 3x + 9};  lim_{n→+∞} sin(n)\frac{n^{2} − 1}{n^{3} − 6}.

3) Si calcoli l’area della regione di piano delimitata dall’asse x, dalle rette x = 1 e x = 4 e dalla curva y = x^{3} − x^{2} + 4x − 12.

Istituzioni di matematiche Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1994-95 Sessione autunnale

15 dicembre 1995

1) Si studi la seguente funzione e si tracci il suo grafico:

y = (x^{2} − 1)e^{x+1}.

2) Calcolare i seguenti integrali:

∫ x log(x + 1) dx; ∫ \frac{cos(x)}{1 − sin(x)} dx;

3) Calcolare i seguenti limiti:

lim_{x→+∞} \frac{2x^{2} − 1}{3x^{2} + 1}  lim_{x→0} \frac{sin(3x)}{sin(8x)}.

4) Trovare il determinante e l’inversa della seguente matrice:

( \begin{matrix}4 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} )

Istituzioni di matematiche Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1993-94 Sessione autunnale (prolungamento)

16 dicembre 1994

1) Si studi la seguente funzione e si tracci il suo grafico:

y = \frac{(x^{2} − 12)}{(x − 4)}.

2) Si calcolino almeno due dei i seguenti integrali indefiniti:

∫ \frac{x}{\sqrt{x^{2} − 4}} dx,  ∫ \frac{x − 1}{x^{2} + 4} dx,  ∫ \frac{2x^{3} + 3 x^{2} − 2}{(x + 1)^{2}} dx.

3) Sia f : ℝ ⟶ ℝ definita da: f(x) = x^{2} − 1 e g : ] − 3, +∞ [⟶ ℝ definita da: g(t) = log(t+3). Si faccia vedere che allora è definita la funzione composta g ∘f e si calcoli la sua derivata.

4) Si calcolino i seguenti limiti:

lim_{n→+∞} \frac{3n^{3} + 7n^{2} − 4}{n^{3} − 2} ;  lim_{n→+∞} \frac{n + 2}{n^{2} − 1} sin(n) .

Istituzioni di matematiche Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1996-97 Sessione autunnale - prolungamento

17 dicembre 1997

1) Si studi la seguente funzione e si tracci il suo grafico:

y = log(x − x^{3}).

2) Calcolare i seguenti integrali:

∫ \frac{x + 1}{x − 3} dx;  ∫ \frac{1 − x^{2}}{1 + x^{2}} dx;  ∫ \frac{sin(x) + cos(x)}{cos(x)} dx.

3) Calcolare la derivata della funzione:

y = x^{2} − 3x + 1

usando solamente la definizione di derivata.

22 aprile 1994

1) Nel piano cartesiano Oxy si consideri la retta r di equazione y = 3x + 2. Si trovi la retta s simmetrica di r rispetto all’origine O(0, 0).

2) Si studi la seguente funzione e si tracci il suo grafico:

y = (x + 1)e^{1/x}.

3) Si calcoli il seguente integrale indefinito:

∫ \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} dx.

Istituzioni di matematiche I Corso di laurea in Scienze Geologiche

23 ottobre 1998

1) Si studi la seguente funzione:

y = \frac{9x^{3}}{3x^{2} − 1}

e si tracci il suo grafico.

2) Si provi per induzione che vale:

∑_{i=1}^{n} i − 3i^{2} = −n^{2}(n + 1)

3) Si calcoli l’area della regione di piano delimitata dall’asse x, dalle rette x = 1 e x = 3 e dalla curva y = x^{3} − x^{2} − x − 2.

Istituzioni di matematiche Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1993-94 Sessione estiva

23 giugno 1994

1) Si studi la seguente funzione e si tracci il suo grafico:

y = log(x^{3} − 9x) + 1.

2) Si verifichi, usando la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale, che vale:

D(x^{2} + 3x) = 2x + 3.

3) Si calcolino i seguenti integrali indefiniti:

∫ \frac{\sqrt{x} + log^{3}(x)}{x} dx; ∫ \frac{e^{\sqrt{x+1}}}{\sqrt{x + 1}} dx.

4) Si calcolino i seguenti limiti di successioni:

lim_{n→+∞} \frac{sin(3n)}{n}; lim_{n→+∞} \frac{6n^{2} + 3n − 5}{4n^{2} − 7n + 5}.

Istituzioni di matematiche I Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1997-98 Sessione autunnale

23 settembre 1998

1) Si studi la seguente funzione e si tracci il suo grafico:

y = log(32x^{2} − x^{4}).

2) Calcolare i seguenti integrali:

∫ \frac{2x^{2} + 3}{x − 2} dx; ∫ e^{2x} cos(x) dx; ∫ x\sqrt{x^{2} − 1} dx.

3) Scrivere il polinomio di Taylor di f(x) = x^{2} + log(x + 1), con valore iniziale x_{0} = 1 e con n = 6.

Istituzioni di matematiche Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1995-96 Sessione autunnale

24 ottobre 1996

1) Data la funzione f : ℝ ⟶ ℝ definita da:

f(x) := \{ \begin{matrix}x^{2} + x − 1 & se −1 ≤ x ≤ 1 \\ 1 & se x > 1 o x < −1 \end{matrix}

dire per quali valori di x è continua e per quali è derivabile. Scrivere un’espressione per la derivata (dove esiste).

2) Calcolare i seguenti integrali:

∫ \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} dx,  ∫ \frac{x^{2} − 2}{x − 2} dx,  ∫ \frac{x + \sqrt{x}}{2x^{2}} dx.

3) Calcolare l’inverso, nel campo ℂ, di 3 − 2i; calcolare poi (\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})^{7}.

4) Studiare la seguente funzione e tracciare il suo grafico:

y = \frac{x^{2}}{1 − 3x}.

Istituzioni di matematiche Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1995-96 Sessione straordinaria

24 aprile 1997

1) Scrivere il polinomio di Taylor P_{6}(x) (cioè di grado 6) della funzione f(x) = 1/x relativo al punto x_{0} = 1.

2) Calcolare i seguenti integrali:

∫ \frac{x^{2} − 4}{x − 3} dx,  ∫ (x^{3} + x sin(x)) dx,  ∫ \frac{3x^{4}}{x^{2} + 1} dx.

3) Studiare la funzione:

f(x) = \sqrt{\frac{x^{3} − 1}{x}}

e tracciare il suo grafico.

Istituzioni di matematiche Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1995-96 Sessione estiva

26 giugno 1996

1) Studiare la seguente funzione e tracciare il suo grafico:

y = \frac{1}{\sqrt{1 − x^{4}}}

2) Scrivere il polynomio di Taylor di grado n = 5 e con valore iniziale x_{0} = 0 della funzione f(x) = e^{x} + cos(x).

3) Provare, con il metodo di induzione, che vale:

∑_{i=1}^{n} 2i = n^{2} + n.

4) Calcolare i seguenti integrali:

∫ cos(x) sin(3x) dx, ∫ \frac{log(x)}{x} dx, ∫ \frac{x^{3} + \sqrt{x}}{x} dx

Istituzioni di matematiche Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1996-97 Sessione estiva

26 giugno 1997

1) Provare, usando il metodo di induzione, che vale:

∑_{i=1}^{n} (i^{2} − 3(i − 1)) = \frac{1}{3}n(n^{2} − 3n + 5).

2) Studiare la seguente funzione e tracciare il suo grafico:

f(x) = \frac{\sqrt{4 − x^{2}}}{x}

3) Calcolare i seguenti limiti (non usare la regola di de l’Hospital, anche quando possibile):

lim_{x→0} \frac{sin^{3} x}{(1 − cos x) tan x};  lim_{n→+∞} \frac{3n^{2} + sin n}{n^{2}}

4) Vezrificare, usando la definizione di limite, che vale:

lim_{x→+∞} x^{2} + 1 = +∞

Istituzioni di matematiche Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1996-97 Sessione autunnale

28 ottobre 1997

1) Scrivere il polinomio di Taylor P_{6}(x) (cioè di grado 6) della funzione f(x) = −2/x relativo al punto x_{0} = 1.

2) Risolvere il seguente sistema lineare (possibilmente con il metodo di Gauss-Jordan):

\{ \begin{matrix}x − 2y + 2z + 2t & = −6 \\ x − 2y + z + t & = −5 \\ −y + z + t & = −4 \end{matrix}

3) Studiare la funzione:

f(x) = arctan (\frac{x − 1}{x})

e tracciare il suo grafico.

Corso di laurea in Scienze Geologiche Istituzioni di Matematiche Sessione estiva, II appello

28 giugno 1995

1) Si studi la seguente funzione e si tracci il suo grafico:

f(x) = \frac{x^{3} + x^{2} − 1}{x^{2} − 1}.

2) Risolvere il seguente sistema lineare con il metodo di Gauss-Jordan:

\{ \begin{matrix}2x + 3y + z & = 5 \\ x + 2y + z & = 3 \\ 2x − y + 4z & = 1 \end{matrix}

e verificare la soluzione trovata.

3) Calcolare la formula di Taylor con n = 5 e nel punto x_{0} = 0 della funzione: y = 2 sin x − cos x

e trovare una maggiorazione per il resto R_{5}(x) nell’intervallo [0, 1].

4) Calcolare i seguenti integrali indefiniti:

∫ (x^{3} + cos(x)) dx,  ∫ cos(x^{3} − 1)x^{2} dx,  ∫ \frac{x^{3}}{x^{4} − 1} dx.

Istituzioni di matematiche Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1997-98 Sessione straordinaria - prolungamento

3 aprile 1998

1) Si studi la seguente funzione e si tracci il suo grafico:

y = \sqrt{(1 − x^{2})^{3}}.

2) Calcolare i seguenti integrali:

∫ \frac{6x + 1}{x^{2} + 1} dx;  ∫ \frac{log^{2}(x − 4)}{x − 4} dx;  ∫ \frac{1}{sin^{2}(x) cos^{2}(x)} dx.

3) Calcolare i seguenti limiti:

lim_{n→+∞} \frac{(−1)^{3n}}{n^{2}} ;  lim_{x→2} \frac{x^{3} − 6x^{2} + 11x − 6}{x^{2} − 5x + 6};  lim_{x⟶+∞} \frac{x^{3} − 7x + 1}{2x^{3} − 4}.

(non è consentito usare la regola di l’Hospital, anche quando applicabile).

Istituzioni di matematiche Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1995-96 Sessione estiva

3 giugno 1996

1) Provare, con il metodo di induzione, che per ogni intero n ≥ 1, l’espressione n^{3} + 2n è divisibile per 3.

2) Verifiare, usando la definizione di limite, che vale:

lim_{x→0^{+}} (1 + \frac{1}{x}) = +∞.

3) Scrivere in forma trigonometrica il numero complesso 2 + 2i e calcolare la sua settima e ottava potenza.

4) Studiare la seguente funzione e tracciare il suo grafico:

y = \frac{x^{2}}{2 − x}.

Istituzioni di matematiche I Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1997-98 Sessione estiva

3 giugno 1998

1) Provare, usando il metodo di induzione, che vale:

D ( ^{3} \sqrt{x^{n}}) = \frac{n}{3} ^{3} \sqrt{x^{n−3}}

2) Calcolare i seguenti integrali:

∫_{1}^{2} \frac{x^{2} + x − 1}{x − 3} dx,  ∫ (x^{2} + x^{2} cos(x)) dx,  ∫ \frac{3x}{x^{2} + 5} dx.

3) Studiare la funzione:

f(x) = ln (\frac{x}{x^{2} + 4})

e tracciare il suo grafico.

Istituzioni di matematiche Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1994-95 Sessione autunnale

30 ottobre 1995

1) Si studi la seguente funzione e si tracci il suo grafico:

y = log(1 − x^{2}).

(suggerimento: limitarsi a calcolare la derivata seconda, senza studiarla)

2) Calcolare i seguenti integrali:

∫ \frac{x^{3} − 7x}{x − 1} dx;  ∫ \frac{2x^{3}}{x^{4} + 1} dx;  ∫ cos(7x) + sin(9x) dx.

3) Scrivere la formula di Taylor di f(x) = x^{2} + log(x), con valore iniziale x_{0} = 0 e con n = 6.

4) Trovare l’inversa della seguente matrice:

( \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 4 & 1 & −4 \\ −3 & −1 & 4 \end{matrix} )

Istituzioni di matematiche Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1993-94 Sessione autunnale

4 ottobre 1994

1) Si studi la seguente funzione e si tracci il suo grafico:

(2x + 1)(x − 1)\sqrt{1 + x}.

2) Si calcolino i seguenti integrali indefiniti:

∫ sin(3x)e^{cos(3x)} dx; ∫ (x^{3} + \frac{6x}{3 + x^{2}} ) dx; ∫ ^{3} \sqrt{x + 1} dx; ∫ e^{x} cos(2x) dx.

3) Si verifichi, usando la definizione di limite, che vale:

lim_{x→3} x^{2} − 1 = 8.

4) Dire per quali valori di x la funzione y = | x^{2} − 8x + 12 | è derivabile.

Istituzioni di matematiche Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1994-95 Sessione autunnale

4 ottobre 1995

1) Si studi la seguente funzione e si tracci il suo grafico:

y = log(8x^{2} − x^{4}).

2) Calcolare i seguenti integrali (indefiniti o impropri).

∫ \frac{x^{2} − 7x}{x + 1} dx;  ∫_{1}^{+∞} \frac{2}{x^{4}} dx;  ∫ \frac{cos(x) + sin(x)}{cos(x) − sin(x)} dx.

3) Risolvere, a scelta, uno dei seguenti esercizi:

a) Trovare tutte le radici complesse dell’equazione:

x^{4} − 1

e verificare il risultato;

b) Trovare l’inversa della seguente matrice:

( \begin{matrix}1 & 0 & −2 \\ 3 & 1 & −6 \\ −3 & −1 & 7 \end{matrix} )

e verificare il risultato.

Istituzioni di matematiche

Corso di laurea in Scienze Geologiche

a.a. 1996-97

Sessione autunnale

6 ottobre 1997

1) Sia f : ℝ ⟶ ℝ la funzione definita da:

f(x) = x + |x^{2} − 1|

a) Per quali valori di x la funizione è continua?

b) Per quali derivabile?

c) dove è crescente e decrescente?

d) trovare massimi e minimi assoluti e relativi. Giustificare le risposte.

2) Si calcolino i seguenti integrali indefiniti:

∫ \frac{3x + 1}{x^{2} + 1} dx; ∫ x cos(x) dx; ∫ \frac{x^{2} + 1}{x − 1} dx.

3) Si verifichi, usando la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale, che vale:

D(x^{2} − 4x) = 2x − 4.

4) Si calcoli l’inversa della seguente matrice:

( \begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 4 & 9 & 1 \\ 3 & 6 & 1 \end{matrix} ) .

Istituzioni di matematiche Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1995-96 Sessione straordinaria

6 febbraio 1997

1) Trovare tutte le funzioni f : ]0, +∞[⟶ ℝ che hanno per derivata

\frac{x^{4} + log(x)}{x};

trovare poi una funzione f : ℝ ⟶ ℝ che ha la stessa derivata della funzione g : ℝ ⟶ ℝ definita da

g(x) = (2 + cos(x))^{x^{2}e^{x}}

e tale che f(0) = 5.

2) Calcolare i seguenti limiti:

lim_{x→0} \frac{sin(8x)}{sin(3x)};  lim_{x→1} \frac{x^{2} − 1}{x^{3} − 4x^{2} + 4x − 1};  lim_{x→+∞} \frac{x^{2} − 1}{x^{3} − 4x^{2} + 4x − 1}.

3) Studiare la seguente funzione e tracciare il suo grafico:

y = \frac{1}{e^{2x^{2}+4x}} .

Istituzioni di matematiche Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1995-96 Sessione estiva

6 settembre 1996

1) Studiare la seguente funzione e tracciare il suo grafico:

y = log(x^{2} − 4)

2) Data la funzione f : ℝ ⟶ ℝ definita da: f(x) = x^{2} + 3, dire se è iniettiva o suriettiva. Sia poi g : ℂ ⟶ ℂ definita dalla stessa equazione, cioè g(x) = x^{2} + 3. Stabilire anche in questo caso se g è iniettiva o suriettiva.

3) Calcolare i seguenti integrali:

∫ \frac{x^{2} + 5}{x − 4} dx; ∫ e^{2x} sin(x) dx; ∫ x\sqrt{x^{2} − 1} dx.

4) Calcolare i seguenti limiti di successioni:

lim_{n→+∞} n(3 + cos(n)); lim_{n→+∞} \frac{3 + (−1)^{n}}{2n + 5} ; lim_{n→+∞} \frac{4n^{3} + 6n − 3}{2n^{3} − 5n + 1}.

Istituzioni di matematiche

Corso di laurea in Scienze Geologiche

a.a. 1993-94

Sessione straordinaria

7 febbraio 1995

1) Siano f(x) e g(x) due funzioni definite da:

f(x) = \frac{e^{x^{2}}}{x^{2}} , g(x) = log \frac{x^{2} − 1}{x − 2}.

Si determini:

a) l’insieme di definizione di f e di g;

b) per quali di x sono positive, nulle, negative;

c) gli intervalli in cui sono crescenti, decrescenti;

d) i massimi e i minimi relativi.

2) Calcolare i seguenti integrali indefiniti:

∫ (cos(x) sin^{2}(x) + xe^{x}) dx; ∫ \frac{^{3} \sqrt{x} + 2x}{\sqrt{x}} dx.

3) Calcolare i seguenti limiti:

lim_{n→+∞} \frac{7 cos(n) + 2 sin(n)}{n}, lim_{x→1} \frac{\sqrt{x} − 1}{x − 1}, lim_{x→0} \frac{1 − cos(2x)}{x^{2}}.

Istituzioni di matematiche Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1996-97 Sessione estiva

9 giugno 1997

1) Provare, usando il metodo di induzione, che vale:

D (\sqrt{x^{n}}) = \frac{n}{2}\sqrt{x^{n−2}}.

2) Calcolare i seguenti integrali:

∫_{5}^{6} \frac{x^{2} − 1}{x − 3} dx,  ∫ (x^{2} + x^{2} sin(x)) dx,  ∫ \frac{1 + (tang x)^{2}}{tang x} dx.

3) Studiare la funzione:

f(x) = \frac{1}{e^{(x^{2}−x)}}

e tracciare il suo grafico.