\magnification=\magstep1
\input amssym.def
\input amssym
\nopagenumbers

\null
\bigskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{\bf Istituzioni di Matematiche}
\medskip
\centerline{1.a prova}
\bigskip
\line{\hfill 24 gennaio 1995}

\bigskip
\noindent
{\bf 1)} Provare, con il metodo di induzione, che vale, per ogni $n \in \Bbb
N$:
$$
\sum_{i=1}^n (i^2-i) = {n(n^2-1) \over 3}.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Sia $f: \Bbb N \longrightarrow \Bbb Z $ definita da: $f(x)=3x-1$ e
$g:\Bbb Z \longrightarrow \Bbb R$ definita da $ g(y)=y^2+2y$. Verificare che
l'applicazione composta $h= g \circ f$ \`e data da $h(t)=9t^2-1$ e dire se \`e
iniettiva e/o suriettiva. 

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Verificare, usando la definizione di limite, che vale:
$$
\lim_{n\rightarrow +\infty} 3 n^2+1 = +\infty, \quad \lim_{n\rightarrow
+\infty} {3n-2 \over n+4} =3.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 4)} Sia $A=\{3+{1 \over 2n} \ | \ n \in \Bbb N \}.$ Provare che $\sup
A=7/2$ e che $\inf A = 3$. L'insieme $A$ ha massimo? Ha minimo?


\vfill\eject

\centerline{Istituzioni di Matematiche}
\centerline{per Scienze Geologiche}
\bigskip
\centerline{A.A. 1993/94}
\bigskip
\centerline{1$^{\rm a}$ prova}
\bigskip
\line{\hfill 25 gennaio 1994}

\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1)} Dimostrare, con il metodo di induzione, che 
$$ 3n^2-3n-6$$
\`e sempre divisibile per sei per ogni $n\in \Bbb N$.

\bigskip\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Sia $f: \Bbb N \longrightarrow  \Bbb Z$ definita da $f(n)=
4n^2-1$. Provare che $f$ \`e iniettiva. Provare che $f$ non \`e 
suriettiva.

\bigskip\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Sia $f: \Bbb R \longrightarrow \Bbb R$ definita da 
$f(x)=7x-\sqrt 3$. Provare che $f$ \`e biiettiva. Trovare l'inversa di
$f$. 

\bigskip\bigskip
\noindent
{\bf 4)} Si trovino i vettori di $\Bbb R^2$ di lunghezza $5$ e
perpendicolari al vettore $(3,4)$.

\bigskip\bigskip
\noindent
{\bf 5)} Verificare i seguenti limiti:
$$ 
\lim_{n\rightarrow +\infty} {3n^2+5 \over 2n^2} = {3 \over 2}, 
\qquad \lim_{n\rightarrow +\infty} \sqrt{n^2+1}=+\infty.
$$



\vfill\eject

\null
\bigskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{\bf Istituzioni di Matematiche}
\medskip
\centerline{1.a prova}
\bigskip
\line{\hfill 30 gennaio 1996}

\bigskip
\noindent
{\bf 1)} Provare, con il metodo di induzione, che vale:
$$
\sum_{i=1}^n i^2-3i={1\over 3} n (n+1) (n-4).
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Sia $f: \Bbb Q \longrightarrow \Bbb Q$ un'applicazione. Scrivere cosa
significa che $f$ \`e invertibile. Sia poi in particolare $f(x)=3x-4$. Mostrare
che tale $f$ \`e invertibile. 

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Calcolare i seguenti limiti: 
$$
\lim_{n\rightarrow +\infty} {3n+2 \sqrt n \over 5n-4 \sqrt n}\,; \qquad 
\lim_{n\rightarrow +\infty} {n+\sin (n) \over n}
$$
e verificare, usando la definizione, che vale: 
$$
\lim_{x\rightarrow 1} (7x-5) = 2.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 4)} Risolvere la seguente  disequazione:
$$
|x+7| > 4.
$$


\vfill\eject

\null
\bigskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{\bf Istituzioni di Matematiche}
\medskip
\centerline{1.a prova}
\bigskip
\line{\hfill 20 gennaio 1997}

\bigskip\bigskip
\noindent
{\bf 1)} Provare, {\sl usando le definizioni,} che l'applicazione $f:\Bbb Q
\longrightarrow \Bbb Q$  definita da $f(x)=2x-11$ \`e iniettiva e suriettiva.
Trovare l'inversa di $f$.

\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Verificare, usando la definizione di limite, che vale: 
$$
\lim_{n\rightarrow +\infty} {4n-1\over n} = 4, \qquad \lim_{n\rightarrow
+\infty} n-n^2=-\infty.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Calcolare i seguenti limiti: 
$$
\lim_{n\rightarrow +\infty} {4n-7n^3 \over 2n-5n^3}, \qquad
\lim_{n\rightarrow +\infty} {4n+5\cos n \over n^2}, \qquad
\lim_{n\rightarrow +\infty} 3n^2-7n.
$$
\bigskip
\noindent
{\bf 4)} Provare, con il metodo di induzione, che vale: 
$$
\sum_{i=1}^n \left(3i^2-i\right) =  n^2(n+1).
$$



\vfill\eject

\null
\bigskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{\bf Istituzioni di Matematiche}
\medskip
\centerline{1.a prova}
\bigskip
\line{\hfill 16 gennaio 1998}

\bigskip\bigskip
\noindent
{\bf 1)} Calcolare i seguenti limiti: 
$$
\lim_{n\rightarrow +\infty} {3n^6+4n^4-8n+1 \over 2n^6-5n+1}, \qquad
\lim_{n\rightarrow +\infty} {4n^2+2\cos n +1}, \qquad
\lim_{n\rightarrow +\infty} 3n^3-2n^2+1.
$$



\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Verificare, usando la definizione di limite, che vale: 
$$
\lim_{n\rightarrow +\infty} {3n+1\over 2n} = 3/2, \qquad \lim_{n\rightarrow
+\infty} 2n^2+n=+\infty.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Scrivere in forma trigonometrica il seguente numero complesso:
$$
z={2 \over \sqrt 3 -i}
$$
e calcolare $z^5$, $z^6$ e $1/z$. 

\bigskip
\noindent
{\bf 4)} Scrivere sotto forma di frazione il numero periodico:
$0,2222 \dots$ e giustificare la risposta. 

\vfill\eject

\null
\bigskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{\bf Istituzioni di Matematiche}
\medskip
\centerline{2.a prova}
\bigskip
\line{\hfill 4 aprile 1995}

\bigskip
\noindent
{\bf 1)} Si studi la seguente funzione e si tracci il suo grafico:
$$
f(x)= {x^3 \over x^2-1}.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Si calcolino le derivate della seguenti funzioni:
$$
y=\log\left(\hbox{arctan}\,(x^2-1)\right), \qquad y=e^{({x-1 \over x+3})},
\qquad y=\cos\left(\sin(x-3)\right).
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Si dica quanti zeri ha la seguente funzione e si trovino degli 
intervalli (di ampiezza al massimo di una unit\`a di misura) entro i 
quali cadono gli zeri:
$$f(x)=x^3-6x+3.$$
Si giustifichi la risposta.

\vfill\eject

\null
\bigskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{\bf Istituzioni di Matematiche}
\medskip
\centerline{2.a prova}
\bigskip
\line{\hfill 25 marzo 1997}

\bigskip
\noindent
{\bf 1)} Della seguente funzione 
$$
f(x)= \log\left({x^2 \over x-2}\right).
$$
determinare:
\item{a)} insieme dove \`e definita; 
\item{b)} eventuali asintoti; 
\item{c)} derivata;
\item{d)} crescenza, decrescenza ed eventuali massimi e minimi; 
\item{e)} derivata seconda ed evetuali punti di flesso.

\noindent
Usando infine tutte le precedenti risposte, tracciare un grafico 
della funzione. 



\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Dato il numero complesso $z=1+i$, determinare: 
\item{a)} il modulo e l'argomento di $z$; 
\item{b)} la forma trigonometrica di $z$; 
\item{c)} $z^5$ (usare il punto b)).



\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Calcolare i seguenti limiti: 
$$
\lim_{x\rightarrow 0} {\sin 3x \over \sin 7 x}; \qquad 
\lim_{x\rightarrow 1} {1-\cos(x-1) \over \sin^2(x-1)}.
$$

\vfill\eject

\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{\bf Istituzioni di Matematiche}
\medskip
\centerline{2.a prova}
\bigskip
\line{\hfill 22 marzo 1994}

\bigskip
{\bf 1)} Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:
$$
y=\log\left({x^3+\cos(x) \over x-1}\right); 
\quad y=\arctan\left({x+\log(x^2-1) \over x^3}\right);\quad
y=\sqrt{x^2-\sin(x)\over x}.
$$

\bigskip
{\bf 2)} Dire dove la funzione definita da:
$$
f(x)= | x^3-x |
$$
\`e derivabile.

\bigskip
{\bf 3)}
Tracciare il grafico qualitativo della seguente funzione:
$$
y= -{x^2+3x +2 \over x-3}.
$$


\vfill\eject


\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{\bf Istituzioni di Matematiche}
\medskip
\centerline{2.a prova}
\bigskip
\line{\hfill 22 marzo 1994}


\bigskip
{\bf 1)} Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:
$$
y=\log\left({x^3+\cos(x) \over x-1}\right); 
\quad y=\arctan\left({x+\log(x^2-1) \over x^3}\right);\quad
y=\sqrt{x^2-\sin(x)\over x}.
$$

\bigskip
{\bf 2)} Dire dove la funzione definita da:
$$
f(x)= | x^3-x |
$$
\`e derivabile.

\bigskip
{\bf 3)}
Tracciare il grafico qualitativo della seguente funzione:
$$
y= {x^2+3x +2 \over 3-x}.
$$
\vskip9cm
.

\vfill\eject


\bigskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{\bf Istituzioni di Matematiche}
\medskip
\centerline{2.a prova}
\bigskip
\line{\hfill 18 marzo 1996}

\bigskip
\noindent
{\bf 1)} Provare, con il metodo di induzione, che vale:
$$
\sum_{i=1}^n i^2-3i={1\over 3} n (n+1) (n-4).
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Sia $f: \Bbb Q \longrightarrow \Bbb Q$ un'applicazione. Scrivere cosa
significa che $f$ \`e invertibile. Sia poi in particolare $f(x)=3x-4$. Mostrare
che tale $f$ \`e invertibile. 

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Calcolare i seguenti limiti: 
$$
\lim_{n\rightarrow +\infty} {3n+2 \sqrt n \over 5n-4 \sqrt n}\,; \qquad 
\lim_{n\rightarrow +\infty} {n+\sin (n) \over n}
$$
e verificare, usando la definizione, che vale: 
$$
\lim_{x\rightarrow 1} (7x-5) = 2.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 4)} Risolvere la seguente  disequazione:
$$
|x+7| > 4.
$$


\vfill\eject


\bigskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{\bf Istituzioni di Matematiche}
\medskip
\centerline{2.a prova}
\bigskip
\line{\hfill 18 marzo 1996}

\bigskip
\noindent
{\bf 1)} Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:
$$
\matrix{
a)\displaystyle \ y = x \log(\cos^3 x +3);  \hfill\cr \cr
b)\ \displaystyle  y={x^3-e^x \over 2x+1}; \hfill\cr \cr
c) \displaystyle \ y = \arctan (x^3+4x^2); \hfill\cr \cr
d) \displaystyle \ y={ \root 3 \of {x^7} + 2 \root 6 \of x^5
\over \root 9 \of x}. \hfill\cr}
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Dato il seguente numero complesso: 
$$ 
z= -4 +4i \sqrt 3
$$
calcolare il suo modulo $|z|$, il suo argomento, trovare il suo 
reciproco in forma algebrica (cio\`e scrivere $1/z$ nella forma 
$a + i b$) e infine calcolare $z^7$. 
 

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Calcolare tutte le radici in $\Bbb C$ dell'equazione:
$$
z^3+z^2+z=0.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 4)} Dire in quali punti di $\Bbb R$ la funzione
$$
y=|x+7|
$$
\`e derivabile e in quali punti \`e continua.

\vfill\eject


\bigskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{\bf Istituzioni di Matematiche}
\medskip
\centerline{2.a prova}
\bigskip
\line{\hfill 13 marzo 1998}

\bigskip
\noindent
{\bf 1)} Studiare la seguete funzione:
$$
y={3x-2\over (x-1)^2}.
$$



\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Sia $\displaystyle 
f(x)={1 \over (x+2)}$. Calcolare $f'(1)$ usando {\sl esclusivamente
la definizione di derivata}.




\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Calcolare i seguenti limiti: 
$$
\lim_{x\rightarrow 3} {\sin (x-3) \over 2x-6}; \qquad 
\lim_{x\rightarrow 1} {x^2-2x+1 \over x^2-3x+2}; \qquad 
\lim_{x\rightarrow -\infty} {x^3-11x+1 \over 4x^3-3x^2+9}.
$$
\vfill\eject


\bigskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{\bf Istituzioni di Matematiche}
\medskip
\centerline{3.a prova}
\bigskip
\line{\hfill 15 maggio 1997}

\bigskip
\noindent
{\bf 1)} Data la funionze $f(x)=2\sin(x) + \cos (2x)$, scrivere il 
polinomio di Taylor di $f(x)$ di grado 5 e con valore iniziale $x_0=0$. 
Stimare poi il resto $R_5(x)$ per tale funzione nell'intervallo $[0,1]$.



\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Calcolare i seguenti integrali: 
$$
\int {x-12 \over x^2+x-6} \, dx; \qquad \int {x\over \cos(x)} \, dx; \qquad 
\int_0^1 \arctan(x) \, dx.
$$


\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Calcolare l'inversa della seguente matrice: 
$$
\left(\matrix{1 & 3 & 1 \cr
          1 & 4 & 1\cr
          1 & 4 & 2 \cr}\right)
$$
e risolvere poi con il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan il seguente
sistema lineare:
$$
\left\{\matrix{x-y+z&=& 0\cr
               2x+y+z&=& 4\cr
               -x+y+4z &=& 25\cr
}
\right.
$$


\vfill\eject

\centerline{Istituzioni di Matematiche}
\centerline{per Scienze Geologiche}
\bigskip
\centerline{A.A. 1993/94}
\bigskip
\centerline{3$^{\rm a}$ prova}
\bigskip
\line{\hfill 13 maggio 1994}

\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1)} Sia $A$ la matrice seguente:
$$
A:= \left(\matrix{1 & -1 & 0 & -2 \cr
                  0 & 1 & 0 & 2 \cr
                  3 & 1 & 1 & 0 \cr
                  0 & 1 & 0 & 3 \cr}\right)
$$
Si calcoli l'inversa $A^{-1}$ di $A$ e si verifichi che $A A^{-1}=I_4$.

\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Si calcolino i seguenti integrali indefiniti:
$$
\int {4x\over x^2+1} \, dx; \quad \int {9\log^2(x) \over x} \, dx; \quad \int 
{\root 4 \of x +  \root 3 \of x \over x\root 5 \of x}\, dx; \quad
\int {\cos(\sqrt x)\over \sqrt x}\, dx.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Si scriva la formula di Taylor con il resto di Peano
per la funzione $f(x)=e^x+x^2$, per $n=5$ e valore iniziale $x_0=0$.

\bigskip
\noindent
{\bf 4)} Si calcoli l'area della regione di piano delimitata dalle rette
$x=1$, $x=3$, $y=0$, e dalla curva $y=1/x+x^3$.

\vfill\eject


\bigskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{\bf Istituzioni di Matematiche}
\medskip
\centerline{3.a prova}
\bigskip
\line{\hfill 17 maggio 1995}

\bigskip
\noindent
{\bf 1)} Calcolare la formula di Taylor con $n=5$ della funzione:
$$ y= \sin x+2 \cos x$$
e trovare una maggiorazione per il resto $R_5(x)$ nell'intervallo $[0,1]$.

\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Calcolare i seguenti integrali indefiniti e verificare il risultato:
$$
\int {1+x \sin^2 x\cos x \over x}\, dx; \quad
\int x^2 \cos x \, dx; \quad
\int  x \sqrt {3+4 x^2}\, dx.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Calcolare:
$$
\int_0^2 x e^{2 x^2}\, dx; \qquad \int_2^{+\infty} {3+x \over x^3 } \, dx.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 4)} Calcolare l'inversa della matrice:
$$
A= \left( \matrix{2 & -3 \cr   4 & \hfill 6\cr}\right)
$$
e verificare il risultato trovato.

\bigskip
\noindent
{\bf 5)} Risolvere il seguente sistema lineare con il metodo di Gauss-Jordan:
$$
\left\{\eqalign{2 x +y + z &= 3 \cr
         x+ 3 y +z &= 0  \cr
         x -y   +2 z&= 6  \cr}\right.
$$
e verificare la soluzione trovata.

\vfill\eject


\bigskip
\centerline{Corso di laurea in Scienze Geologiche}
\medskip
\centerline{\bf Istituzioni di Matematiche}
\medskip
\centerline{3.a prova}
\bigskip
\line{\hfill 6 maggio 1996}

\bigskip
\noindent
{\bf 1)} Sia $f(x)$ la seguente funzione: 
$$
f(x) = \log \left({1 \over x^2-x^4}\right)
$$
Rispondere ai seguenti quesiti:
\medskip

\item{a)} Per quali valori di $x$ \`e definita? 
\item{b)} Ha delle simmetrie?
\item{c)} Esistono asintoti?
\item{d)} dov'\`e crescente e dov'\`e decrescente?
\item{e)} Esistono massimi o minimi?

Infine, sulla base dei dati raccolti nei punti precedenti, tracciare un grafico
approssimativo della funzione. 

\bigskip
\noindent
{\bf 2)} Calcolare i seguenti integrali: 
$$
\int \left(\cos^2(x) \sin(x) +{x \over 1-4x^2}\right) dx; 
\quad \int_1^3 (1-x)^3 dx.
$$

\bigskip
\noindent
{\bf 3)} Scrivere il polinomio di Taylor della funzione: 
$$
f(x)=e^{2x}
$$
con valore iniziale $x_0=0$ e con $n=5$.

\bigskip
\noindent
{\bf 4)} Risolvere, con il metodo di Gauss-Jordan, il seguente sistema lineare:
$$
\left\{\matrix{
x+y+z &=&1\cr
x-2y-z&=&0\cr
2x-y+3z&=&-2\cr}
\right.
$$

\vfill\eject

\centerline{Istituzioni di Matematiche I}
\centerline{per Scienze Geologiche}
\bigskip
\centerline{A.A. 1997/98}
\bigskip
\centerline{3$^{\rm a}$ prova}
\bigskip
\line{\hfill 8 maggio 1998}

\bigskip\bigskip

\noindent
{\bf 1)} Si scriva il polinomio di Taylor di grado 5 e punto iniziale
$x_0=0$ della funzione:
$$
f(x)=e^x+\sin(x).
$$
Si dia poi una stima del resto $R_5(x)$ nell'intervallo $[0,1]$ (si ricordi 
che il numero di Nepero $e$ \`e un numero positivo $\leq 3$).
\bigskip


\noindent
{\bf 2)} 
Calcolare i seguenti integrali:
$$
\int {x+2\over x^2+1} \, dx; \quad \int {3\cos^2(x)\sin(x)} \, dx; \quad \int 
{\root 3 \of{x-3}}\, dx; \quad \int_{0}^{\pi/2} {x\sin(x)}\, dx.
$$
\bigskip


\noindent
{\bf 3)} Data la matrice seguente:
$$
A=
\pmatrix{-2& 3& -3 \cr  -1 & 1 & -1 \cr -1& 3& -2 \cr}
$$
calcolare $\det(A)$ e la matrice $B=A^{-1}$; risolvere poi il seguente sistema lineare 
(con il metodo di Gauss-Jordan): 
$$
\left\{\eqalign{x+y+z &= 0\cr  2x-y+z&= -1  \cr x - y +3z &= 2\cr  }\right.
$$
\bye

