Corso di laurea in Scienze Geologiche Istituzioni di Matematiche 1.a prova

24 gennaio 1995

1) Provare, con il metodo di induzione, che vale, per ogni n ∈ ℕ:

∑_{i=1}^{n}(i^{2} − i) = \frac{n(n^{2} − 1)}{3}.

2) Sia f : ℕ ⟶ ℤ definita da: f(x) = 3x − 1 e g : ℤ ⟶ ℝ definita da g(y) = y^{2} + 2y. Verificare che l’applicazione composta h = g ∘f è data da h(t) = 9t^{2} −1 e dire se è iniettiva e/o suriettiva.

3) Verificare, usando la definizione di limite, che vale:

lim_{n→+∞} 3n^{2} + 1 = +∞, lim_{n→+∞} \frac{3n − 2}{n + 4} = 3.

4) Sia A = \{3 + \frac{1}{2n} | n ∈ ℕ\}. Provare che sup A = 7/2 e che inf A = 3. L’insieme A ha massimo? Ha minimo?

Istituzioni di Matematiche per Scienze Geologiche A.A. 1993/94 1^{a} prova

25 gennaio 1994

1) Dimostrare, con il metodo di induzione, che 3n^{2} − 3n − 6

è sempre divisibile per sei per ogni n ∈ ℕ.

2) Sia f : ℕ ⟶ ℤ definita da f(n) = 4n^{2} − 1. Provare che f è iniettiva. Provare che f non è suriettiva.

3) Sia f : ℝ ⟶ ℝ definita da f(x) = 7x − \sqrt{3}. Provare che f è biiettiva. Trovare l’inversa di f.

4) Si trovino i vettori di ℝ^{2} di lunghezza 5 e perpendicolari al vettore (3, 4).

5) Verificare i seguenti limiti:

lim_{n→+∞} \frac{3n^{2} + 5}{2n^{2}} = \frac{3}{2},  lim_{n→+∞} \sqrt{n^{2} + 1} = +∞.

Corso di laurea in Scienze Geologiche Istituzioni di Matematiche 1.a prova

30 gennaio 1996

1) Provare, con il metodo di induzione, che vale:

∑_{i=1}^{n} i^{2} − 3i = \frac{1}{3}n(n + 1)(n − 4).

2) Sia f : ℚ ⟶ ℚ un’applicazione. Scrivere cosa significa che f è invertibile. Sia poi in particolare f(x) = 3x − 4. Mostrare che tale f è invertibile.

3) Calcolare i seguenti limiti:

lim_{n→+∞} \frac{3n + 2\sqrt{n}}{5n − 4\sqrt{n}} ; lim_{n→+∞} \frac{n + sin(n)}{n}

e verificare, usando la definizione, che vale:

lim_{x→1}(7x − 5) = 2.

4) Risolvere la seguente disequazione:

|x + 7| > 4.

Corso di laurea in Scienze Geologiche Istituzioni di Matematiche 1.a prova

20 gennaio 1997

1) Provare, usando le definizioni, che l’applicazione f : ℚ ⟶ ℚ definita da f(x) = 2x−11 è iniettiva e suriettiva. Trovare l’inversa di f.

2) Verificare, usando la definizione di limite, che vale:

lim_{n→+∞} \frac{4n − 1}{n} = 4,  lim_{n→+∞} n − n^{2} = −∞.

3) Calcolare i seguenti limiti:

lim_{n→+∞} \frac{4n − 7n^{3}}{2n − 5n^{3}} ,  lim_{n→+∞} \frac{4n + 5 cos n}{n^{2}},  lim_{n→+∞} 3n^{2} − 7n.

4) Provare, con il metodo di induzione, che vale:

∑_{i=1}^{n} (3i^{2} − i) = n^{2}(n + 1).

Corso di laurea in Scienze Geologiche Istituzioni di Matematiche 1.a prova

16 gennaio 1998

1) Calcolare i seguenti limiti:

lim_{n→+∞} \frac{3n^{6} + 4n^{4} − 8n + 1}{2n^{6} − 5n + 1},  lim_{n→+∞} 4n^{2} + 2 cos n + 1,  lim_{n→+∞} 3n^{3} − 2n^{2} + 1.

2) Verificare, usando la definizione di limite, che vale:

lim_{n→+∞} \frac{3n + 1}{2n} = 3/2,  lim_{n→+∞} 2n^{2} + n = +∞.

3) Scrivere in forma trigonometrica il seguente numero complesso:

z = \frac{2}{\sqrt{3} − i}

e calcolare z^{5}, z^{6} e 1/z.

4) Scrivere sotto forma di frazione il numero periodico: 0, 2222 … e giustificare la risposta.

Corso di laurea in Scienze Geologiche Istituzioni di Matematiche 2.a prova

4 aprile 1995

1) Si studi la seguente funzione e si tracci il suo grafico:

f(x) = \frac{x^{3}}{x^{2} − 1}.

2) Si calcolino le derivate della seguenti funzioni:

y = log (arctan (x^{2} − 1)) ,  y = e^{( \frac{x−1}{x+3} )},  y = cos (sin(x − 3)) .

3) Si dica quanti zeri ha la seguente funzione e si trovino degli intervalli (di ampiezza al massimo di una unità di misura) entro i quali cadono gli zeri:

f(x) = x^{3} − 6x + 3.

Si giustifichi la risposta.

Corso di laurea in Scienze Geologiche

Istituzioni di Matematiche

2.a prova

25 marzo 1997

1) Della seguente funzione

f(x) = log (\frac{x^{2}}{x − 2}) .

determinare:

a) insieme dove è definita;

b) eventuali asintoti;

c) derivata;

d) crescenza, decrescenza ed eventuali massimi e minimi;

e) derivata seconda ed evetuali punti di flesso. Usando infine tutte le precedenti risposte, tracciare un grafico della funzione.

2) Dato il numero complesso z = 1 + i, determinare:

a) il modulo e l’argomento di z;

b) la forma trigonometrica di z;

c) z^{5} (usare il punto b)).

3) Calcolare i seguenti limiti:

lim_{x→0} \frac{sin 3x}{sin 7x};  lim_{x→1} \frac{1 − cos(x − 1)}{sin^{2}(x − 1)}.

Corso di laurea in Scienze Geologiche Istituzioni di Matematiche 2.a prova

22 marzo 1994

1) Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:

y = log (\frac{x^{3} + cos(x)}{x − 1}); y = arctan (\frac{x + log(x^{2} − 1)}{x^{3}}); y = \sqrt{\frac{x^{2} − sin(x)}{x}}.

2) Dire dove la funzione definita da:

f(x) = |x^{3} − x|

è derivabile.

3) Tracciare il grafico qualitativo della seguente funzione:

y = −\frac{x^{2} + 3x + 2}{x − 3}.

Corso di laurea in Scienze Geologiche Istituzioni di Matematiche 2.a prova

22 marzo 1994

1) Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:

y = log (\frac{x^{3} + cos(x)}{x − 1}); y = arctan (\frac{x + log(x^{2} − 1)}{x^{3}}); y = \sqrt{\frac{x^{2} − sin(x)}{x}}.

2) Dire dove la funzione definita da:

f(x) = |x^{3} − x|

è derivabile.

3) Tracciare il grafico qualitativo della seguente funzione:

y = \frac{x^{2} + 3x + 2}{3 − x}.

.

Corso di laurea in Scienze Geologiche Istituzioni di Matematiche 2.a prova

18 marzo 1996

1) Provare, con il metodo di induzione, che vale:

∑_{i=1}^{n} i^{2} − 3i = \frac{1}{3}n(n + 1)(n − 4).

2) Sia f : ℚ ⟶ ℚ un’applicazione. Scrivere cosa significa che f è invertibile. Sia poi in particolare f(x) = 3x − 4. Mostrare che tale f è invertibile.

3) Calcolare i seguenti limiti:

lim_{n→+∞} \frac{3n + 2\sqrt{n}}{5n − 4\sqrt{n}} ; lim_{n→+∞} \frac{n + sin(n)}{n}

e verificare, usando la definizione, che vale:

lim_{x→1}(7x − 5) = 2.

4) Risolvere la seguente disequazione:

|x + 7| > 4.

Corso di laurea in Scienze Geologiche Istituzioni di Matematiche 2.a prova

18 marzo 1996

1) Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:

a) y = x log(cos^{3} x + 3);

b) y = \frac{x^{3} − e^{x}}{2x + 1} ;

c) y = arctan(x^{3} + 4x^{2});

d) y = \frac{^{3} \sqrt{x^{7}} + 2 ^{6} \sqrt{x}^{5}}{\sqrt[9]{x}} .

2) Dato il seguente numero complesso:

z = −4 + 4i\sqrt{3}

calcolare il suo modulo |z|, il suo argomento, trovare il suo reciproco in forma algebrica (cioè scrivere 1/z nella forma a + ib) e infine calcolare z^{7}.

3) Calcolare tutte le radici in ℂ dell’equazione:

z^{3} + z^{2} + z = 0.

4) Dire in quali punti di ℝ la funzione

y = |x + 7|

è derivabile e in quali punti è continua.

Corso di laurea in Scienze Geologiche Istituzioni di Matematiche 2.a prova

13 marzo 1998

1) Studiare la seguete funzione:

y = \frac{3x − 2}{(x − 1)^{2}} .

2) Sia f(x) = \frac{1}{(x + 2)}. Calcolare f′(1) usando esclusivamente la definizione di derivata.

3) Calcolare i seguenti limiti:

lim_{x→3} \frac{sin(x − 3)}{2x − 6};  lim_{x→1} \frac{x^{2} − 2x + 1}{x^{2} − 3x + 2};  lim_{x→−∞} \frac{x^{3} − 11x + 1}{4x^{3} − 3x^{2} + 9}.

Corso di laurea in Scienze Geologiche Istituzioni di Matematiche 3.a prova

15 maggio 1997

1) Data la funionze f(x) = 2 sin(x) + cos(2x), scrivere il polinomio di Taylor di f(x) di grado 5 e con valore iniziale x_{0} = 0. Stimare poi il resto R_{5}(x) per tale funzione nell’intervallo [0, 1].

2) Calcolare i seguenti integrali:

∫ \frac{x − 12}{x^{2} + x − 6} dx;  ∫ \frac{x}{cos(x)} dx;  ∫_{0}^{1} arctan(x) dx.

3) Calcolare l’inversa della seguente matrice:

( \begin{matrix}1 & 3 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \end{matrix} )

e risolvere poi con il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan il seguente sistema lineare:

\{ \begin{matrix}x − y + z & = & 0 \\ 2x + y + z & = & 4 \\ −x + y + 4z & = & 25 \end{matrix}

Istituzioni di Matematiche per Scienze Geologiche A.A. 1993/94 3^{a} prova

13 maggio 1994

1) Sia A la matrice seguente:

A := ( \begin{matrix}1 & −1 & 0 & −2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \end{matrix} )

Si calcoli l’inversa A^{−1} di A e si verifichi che AA^{−1} = I_{4}.

2) Si calcolino i seguenti integrali indefiniti:

∫ \frac{4x}{x^{2} + 1} dx; ∫ \frac{9 log^{2}(x)}{x} dx; ∫ \frac{^{4} \sqrt{x} + ^{3} \sqrt{x}}{x ^{5} \sqrt{x}} dx; ∫ \frac{cos(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} dx.

3) Si scriva la formula di Taylor con il resto di Peano per la funzione f(x) = e^{x} + x^{2}, per n = 5 e valore iniziale x_{0} = 0.

4) Si calcoli l’area della regione di piano delimitata dalle rette x = 1, x = 3, y = 0, e dalla curva y = 1/x + x^{3}.

Corso di laurea in Scienze Geologiche Istituzioni di Matematiche 3.a prova

17 maggio 1995

1) Calcolare la formula di Taylor con n = 5 della funzione:

y = sin x + 2 cos x

e trovare una maggiorazione per il resto R_{5}(x) nell’intervallo [0, 1].

2) Calcolare i seguenti integrali indefiniti e verificare il risultato:

∫ \frac{1 + x sin^{2} x cos x}{x} dx; ∫ x^{2} cos x dx; ∫ x\sqrt{3 + 4x^{2}} dx.

3) Calcolare:

∫_{0}^{2} xe^{2x^{2}} dx; ∫_{2}^{+∞} \frac{3 + x}{x^{3}} dx.

4) Calcolare l’inversa della matrice:

A = ( \begin{matrix}2 & −3 \\ 4 & 6 \end{matrix} )

e verificare il risultato trovato.

5) Risolvere il seguente sistema lineare con il metodo di Gauss-Jordan:

\{ \begin{matrix}2x + y + z & = 3 \\ x + 3y + z & = 0 \\ x − y + 2z & = 6 \end{matrix}

e verificare la soluzione trovata.

6 maggio 1996

1) Sia f(x) la seguente funzione:

f(x) = log (\frac{1}{x^{2} − x^{4}} )

Rispondere ai seguenti quesiti:

a) Per quali valori di x è definita?

b) Ha delle simmetrie?

c) Esistono asintoti?

d) dov’è crescente e dov’è decrescente?

e) Esistono massimi o minimi? Infine, sulla base dei dati raccolti nei punti precedenti, tracciare un grafico approssi-

mativo della funzione.

2) Calcolare i seguenti integrali:

∫ (cos^{2}(x) sin(x) + \frac{x}{1 − 4x^{2}} ) dx; ∫_{1}^{3}(1 − x)^{3}dx.

3) Scrivere il polinomio di Taylor della funzione:

f(x) = e^{2x}

con valore iniziale x_{0} = 0 e con n = 5.

4) Risolvere, con il metodo di Gauss-Jordan, il seguente sistema lineare:

\{ \begin{matrix}x + y + z & = & 1 \\ x − 2y − z & = & 0 \\ 2x − y + 3z & = & −2 \end{matrix}

Istituzioni di Matematiche I per Scienze Geologiche A.A. 1997/98 3^{a} prova

8 maggio 1998

1) Si scriva il polinomio di Taylor di grado 5 e punto iniziale x_{0} = 0 della funzione: f(x) = e^{x} + sin(x).

Si dia poi una stima del resto R_{5}(x) nell’intervallo [0, 1] (si ricordi che il numero di Nepero e è un numero positivo ≤ 3).

2) Calcolare i seguenti integrali:

∫ \frac{x + 2}{x^{2} + 1} dx; ∫ 3 cos^{2}(x) sin(x) dx; ∫ \sqrt[3]{x − 3} dx; ∫_{0}^{π/2} x sin(x) dx.

3) Data la matrice seguente:

A = ( \begin{matrix}−2 & 3 & −3 \\ −1 & 1 & −1 \\ −1 & 3 & −2 \end{matrix} )

calcolare det(A) e la matrice B = A^{−1}; risolvere poi il seguente sistema lineare (con il metodo di Gauss-Jordan):

\{ \begin{matrix}x + y + z & = 0 \\ 2x − y + z & = −1 \\ x − y + 3z & = 2 \end{matrix}