N.B. Il programma qui riportato e' ancora provvisorio e potra' subire varie modifiche.

Richiami sulle basi di Groebner: definizione e algoritmo di Buchberger. Applicazioni.

Richiami di algebra commutativa: Anelli, anelli graduati, ideali, ideali omogenei, moduli graduati su un anello graduato. Anelli noetheriani, teorema della base di Hilbert. Sizigie.

Tecniche computazionali: Calcolo delle sizigie di un modulo sull'anello dei polinomi (caso graduato e non). Risoluzione libera di un modulo sull'anello dei polinomi. Suo calcolo con tecniche delle basi di Groebner. Risoluzione libera minimale per moduli graduati.

Funzione e serie di Hilbert: definizione della funzione e della serie di Hilbert. Loro proprietà. Calcolo della serie di Hilbert.

Polinomi invarianti: Polinomi simmetrici, polinomi simmetrici elementari, i polinomi simmetrici elementari visti come generatori dell'anello dei polinomi simmetrici; polinomi k-ima potenza simmetrica. Sottogruppi di GL(n,C). Azione di un sottogruppo di GL(n,C) sull'anello dei polinomi K[x₁,...,x_n], con particolare riguardo al caso di un sottogruppo di ordine finito.Polinomi invarianti, invarianti fondamentali. Operatore di Reynolds e sue proprietà. Teorema di finitezza di Hilbert e teorema di E. Noether (nel caso dell'azione di un sottogruppo finito di GL(n,C)). Teorema di Molien per il calcolo della serie di Hilbert di un anello di invarianti. Cenno al problema del calcolo di invarianti di forme binarie.

Calcolo effettivo di invarianti: Calcolo degli invarianti fondamentali con tecniche computazionali, esempi.

Calcolo simbolico: Introduzione al pacchetto di Computer algebra "Maple". Utilizzazione di "Maple" per il calcolo di invarianti. Introduzione al pacchetto "CoCoA".

Testi seguiti:
- W. Adams, P. Loustaunau, An Introduction to Groebner bases, AMS.
- M.F. Atiyah, I.G. Macdonald,  Introduzione all'algebra commutativa, Feltrinelli.
- A. Capani, G. Niesi e L. Robbiano, CoCoA, a system for doing Computations in Commutative Algebra, Available from http://cocoa.dima.unige.it.
- D. Eisenbud, Commutative Algebra with a view toward algebraic geometry, GTM, Springer Verlag.
- A. Heck, Introduction to Maple.
- M. Kreuzer, L. Robbiano, Computational Commutative Algebra 1, Springer Verlag.
- M. Kreuzer, L. Robbiano, Computational Commutative Algebra 2, Springer Verlag.
- B. Sturmfels, Algorithms in invariant theory, Springer Verlag.