In questa pagina si potranno trovare varie indicazioni relative all'insegnamento di Matematiche Complementari (6 cfu, II semestre) relativo al corso di Studi della laurea triennale in Matematica.
Il sito contiene gli appunti del corso (via via aggiornati), le registrazioni delle lezioni e altre indicazioni realtive al corso tenuto nel II semestre dell'anno accademico 2021-22 (semi-condizionato dall'emergenza Covid).
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Prossime tappe

• Esami sessione giugno-luglio.
• Esami sessione settembre.

Testi consigliati

• Derek Goldrei, Classic Set Theory for guided independent study, Chapman and Hall, 1996.
• James M. Henle, An Outline of Set Theory, Problem Books in Mathematics, Springer-Verlag, 1986.
• Carl B. Boyer, Storia della matematica, Oscar Mondadori, 1968.
• Andras Hajnal, Peter Hamburger, Set Theory, London Mathematical Society, 1999.
• Domenico Pagani, Sandro Salsa, Analisi matematica 1, Zanichelli, 2015.
• Rodolfo Permutti, Lezioni di algebra.
• Aleksandr Khinchin, Continued Fractions, Dover, 1997.
• Harold, Davenport, Aritmetica superiore: un'introduzione alla teoria dei numeri, Zanichelli - 1994
• Ivan Niven, Numeri razionali e irrazionali, Zanichelli, 1968.
• Ian Steward, Galois theory, Chapman and Hall 2003.
• Roger C. Alperin, A Mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers, New York J. Math.6 (2000) 119-133.
• Robert Lang, Origami and geometric constructions
• Francesco Defina, Teoria degli Origami: analisi di una teoria assiomatica.
• Sundara Row, Geometric exercises in paper folding, Dover Publications, 1966.

Contenuti del corso

• Programma del corso (a.a. 2019-20).
• Programma del corso (a.a. 2020-21).
• Programma del corso (a.a. 2021-22).
• Appunti del corso.

• Lezione 1 (1/3/22) Contenuto del corso. Introduzione: un esempio, il toerema di Rolle da vari punti di vista. Primi cenni di logica matematica. Definizione di insieme di Frege e Paradosso di Russell. ALtri esempi di paradossi.
  Video 1A
• Lezione 2 (3/3/22) il linguaggio della logica: simboli e formule. Regole per la costruzione di formule "sensate" partendo da alcuni assiomi. Primi tre assiomi di Zermelo Fraenkel. Conseguenze: unicità dell'insieme vuoto, coppie ordinate, n-uple ordinate. Gli assiomi ZF4 e ZF5.
  Video 2A Video 2B
• Lezione 3 (7/3/22) L'assioma del'unione (ZF6). Definizione di unione di due insiemi. Unione di un numero finito di insiemi. Intersezione di un numero finito di insiemi. L'insieme complemantare. Definizione dell'insieme prodotto di due insiemi (o di un numero finito di insiemi). Definizione di applicazione tra insiemi. L'assioma ZF7 definizione di insieme induttivo).
  Video 3A Video 3B
• Lezione 4 (8/3/22) Gli assiomi ZF8 e ZF9. Conseguenze di ZF9: un insieme non può appartenere a sè stesso. L'assioma della scelta e sue formulazioni equivalenti. Brevi notizie sulla consistenza dell'assioma della scelta con ZF1-ZF9. Lemma di Zorn. Conseguenze del lemma di Zorn.
  Video 4A Video 4B
• Lezione 5 (10/3/22) Alcuni esempi di applicazione del lemma di Zorn. Il successore di un insieme. Insiemi induttivi. L'insieme dei naturali definito come il più piccolo insieme induttivo. Proprietà dei numeri naturali. La dimostrazione per induzione. L'ordinamento sui numeri naturali (dato dall'appartenenza). Gli assiomi di Peano. Unicità di una terna (X, 0, S) che soddisfa agli assiomi di Peano.
  Video 5A Video 5B
• Lezione 6 (14/3/22) Insiemi bene ordinati. L'insieme dei numeri naturali è bene ordinato. Insiemi finiti. Proprietà degli insiemi finiti. Insiemi infiniti. Un'applicazione iniettiva di un insieme infinito in sè è anche suriettiva (un'applicazione suriettiva di un insieme finito in sè è anche iniettiva). Principio della piccionaia. Utilizzo di ZF8 per mostrare una dimostrazione per ricorrenza: perché 2+3=5.
  Video 6A Video 6B
• Lezione 7 (15/3/22) Dimostrazione del metodo di ricorrenza (come conseguenza dell'assioma ZF8). Costruzione dell'anello degli interi a partire dai numeri naturali. Costruzione del campo dei quozienti a partire da un dominio d'integrità, L'ordinamento sugli interi indotto dall'ordinamento dei naturali.
  Video 7A Video 7B
• Lezione 8 (17/3/22) Anelli ordinati. Due definizioni equivalenti. Anelli ordinati isomorfi. Un anello ordinato è di caratteristica zero ed è ed è un dominio d'integrità. Definizione di valore assoluto in un anello ordinato e alcune proprietà. Anelli ordinati archimedei. Campi ordinati. Anelli densi in sè. Partendo da un anello ordinato A (quindi un dominio), il suo campo dei quozienti si pu\ograve; ordinare in unico modo estendendo l'ordinamento di A.
  Video 8A Video 8B
• Lezione 9 (21/3/22) Limiti di successioni in un campo ordinato. Proprietà dei limiti (unicità del limite, limite della somma, del prodotto, ecc). Successioni di Cauchy in un campo ordinato. Varie proprietà delle succesioni di Cauchy. Successioni infinitesime. L'insieme di tutte le successioni di Cauchy su un campo ordinato è un anello M. L'insieme di tutte le successioni infinitesime in un campo ordinato è un ideale I
  . Il quoziente M/I è un campo che contiene il campo ordinato da cui si è partiti.
  Video 9A Video 9B
• Lezione 10 (22/3/22) Ordinamento sul campo M/I. Il campo M/I viene detto ampliamento cantoriano (del campo K da cui si è partiti). Un campo ordinato archimedeo si dice completo se ogni successione di Cauchy in tale campo è convergente. Se K è un campo ordinato archimedeo, allora il suo ampliamento cantoriano è un campo ordinato archimedeo completo. Ogni elemento dell'ampliamento cantoriano di un campo ordinato archimedeo K è limite di una successione di Cauchy a coefficienti in K.
  Video 10A Video 10B
• Lezione 11 (24/3/22) Partendo dal campo ordinato archimedeo Q si costruisce il suo completamento cantoriano R che viene detto il campo dei reali. Se Kè un campo ordinato archimedeo completo, è isomorfo ad R. Quindi, a meno di isomorfismi, esiste un unico campo ordinato archimedeo completo. Definizione di maggiorante, minorante, estremo superiore, estremo inferiore in un insieme ordinato. In un campo K ordinato archimedeo, sono equivalenti: K è completo, ogni sottoinsieme non vuoto limitato superiormente/inferiormente ha estremo superiore/inferiore. Definizione di sezione (taglio) di Dedekind. Sezioni sinistre. L'insieme K di tutte le sezioni sinistre di Dedekind e sue proprietà. Contiene una copia in biiezione con è ordinato. Ogni sottoinsieme non vuoto superiormente limitato di K ha estremo superiore.
  Video 11A Video 11B
• Lezione 12 (28/3/22) Definizione di somma e prodotto nell'insieme K delle sezioni sinistre di un campo ordinato K. Se K è archimedeo, allora l'insieme K delle sezioni sinistre di Dedekind è un campo ordinato archimedeo completo, quindi è il campo dei reali R. Numeri irrazionali. Grandezze commensurabili e incommensurabili. La diagonale del pentagono e il lato del pentagono sono incommensurabili. Il numero aureo è irrazionale. Altri numeri irrazionali. Numeri algebrici. Richiamo su alcune costruzioni relative ai numeri algebrici (polinomio minimo, teorema della torre). Somma, prodotto, inverso di numeri algebrici sono anche algebrici.
  Video 12A Video 12B
• Lezione 13 (29/3/22) Ancora sui numeri algebrici. Le funzioni seno e coseno sono numeri algebrici quando calcolate su angoli multipli razionali dell'angolo retto. Polinomi di Chebishev. Teorema di Niven: mostra quando seno e coseno sono razionali. Altri numeri irrazionali: il caso del logaritmo (in base 10). Esempi di numeri del tipo: irrazionale^irrazionale = razionale.
  Video 13A Video 13B
• Lezione 14 (31/3/22) Cenno al teorema di Gelfond e Schneider: Se a è algebrico diverso da 0 e 1 e se b è algebrico di grado maggiore di 1, allora a^b è trascendente. Qualche conseguenza.
  Rappresentazione di numeri razionali in forma decimale. La costruzione dei numeri reali definiti come numeri in forma decimale.
  Video 14A Video 14B
• Lezione 15 (4/4/22) Frazioni continue. Costruzione di una frazione continua partendo da un numero razionale. Parallelismo con l'algoritmo di Euclide per il calcolo del massimo comun divisore di due interi. I termini di una frazione continua. Notazione: [q₀,q₁...q_n]. Formula di Eulero per calcolare la frazione continua partendo dai termini. Conseguenze della formula di Eulero.
  Video 15A (in preparazione) Video 15B (in preparazione)
• Lezione 16 (5/4/22) I convergenti di una frazione continua. Posizione dei convergenti (di indice pari e dispari) sulla retta reale. Frazioni continue infinite. Costruzione di una frazione continua infinita partendo da un numero reale (necessariamente irrazionale).
  Video 16A Video 16B
• Lezione 17 (11/4/22) Dati dei termini q₀, q₁, ... da essi si può costruire un numero reale tale che la frazione continua che si ottiene da esso è proprio tale da avere i termini q₀, q₁, ... . In questo modo si costruisce una corrispondenza biunivoca tra frazioni continue e numeri reali. (a numeri razionali corrispondono frazioni continue finite il cui ultimo termine è maggiore di 1, a numeri irrazionali corrispondono frazioni continue infinite). Il teorema di Liouville, i numeri di Liouville, costruzione di numeri trascendenti. Cenno alla trascendenza di e e di pi graco.
  Video 17A Video 17B
• Lezione 18 (12/4/22) Gli elementi di R algebrici su Q sono numerabili. Quindi "quasi tutti" gli elementi di R sono trascendenti. Numeri algebrici di grado 2. Frazione continue periodiche. Teorema di Lagrange (1770) Un numero è algebrico di grado 2 se e solo se la sua rappresentazione in frazione continua è periodica (dimostrazione della sola implicazione "periodico implica algebrico di grado 2").
  Costruzioni con riga e compasso. Le regole del gioco.
  Video 18A Video 18B
• Lezione 19 (21/4/22) Costruzioni con riga e compasso. Primi esempi. Le regole e le possibili costruzioni. Costruzione di alcuni poligoni regolari. Definizione rigorosa di punto costruibile con riga e compasso. Se un punto ee` costruibile con riga e compasso, le sue coordinate stanno in un ampliamento algebrico del campo di partenza di grado una potenza di 2. I teoremi di Wantzel che provano la non costruibilità con riga e compasso della duplicazione del cubo e della trisezione dell'angolo. Definizione di costruzione per neusis.
  Video 19A Video 19B
• Lezione 20 (26/4/22) Costruzioni per neusis. La trisezione dell'angolo e la duplicazione del cubo. Operazioni con numeri costruibili con riga e compasso. Somma, differenza. Dati due segmenti si può costruire il loro prodotto in molti modi (usando Talete, I o II teorema di Euclide, teorema della tangente e della secante). Analogamente, costruzione del rapporto di due segmenti. I numeri costruibili con riga e compasso formano quindi un campo. Costruzione con riga e compasso della radice quadrata di un numero costruibile.
  Video 20 Video 20B
• Lezione 21 (28/4/22) Il pentagono regolare. Il numero aureo. Poligoni regolari. Teorema di Gauss Wantzel. I numeri primi di Fermat. Metodo generale per la costruzione di poligoni regolari approssimati con riga e compasso.
  Le prime regole per la piegatura della carta (origami). Costruzione di un quadrato.
  Video 21A Video 21B
• Lezione 22 (02/05/22) I sette assiomi di Huzita Hatori. Alcune costruzioni: il triangolo equilatero, il rapporto aureo, il pentagono regolare. Le pieghe (rette) che si possono fare con le prime 5 regole (assiomi) di Huzita Hatori, sono tutte costruibili con riga e compasso.
  Solo audio, video non disponibile per malfunzionamento di Teams.
• Lezione 23 (03/05/22) Dato un punto F e una retta d e un punto T, la regola R₅ permette di costruire la retta t tangente passante per T alla parbola di centro F e direttrice d e il punto di tangenza di t con la parabola. Le regole R₁, ..., R₅ permettono di trovare tutte le costruzioni che si possono fare con riga e compasso (dimostrazione con geometria analitica: costruzione della radice quadrata di un numero costruibile e dimostrazione geometrica). La regola R₆ permette di trovare la retta tangente a due parabole contemporaneamente. Con Tale regola si risolvono le equazioni di III grado.
  Video 23A Video 23B
• Lezione 24 (05/05/22) Cenno al metodo di Lill per risolvere equazioni e al fatto che con il quadrato di Beloch si riescono, con le regole dell'origami, a risolvere equazioni di terzo grado. Dipendenza degli assiomi.
  Video 24