Richiami di algebra di base: definizione di gruppo, sottogruppo, sottogruppo normale, gruppo quoziente, omomorfismi tra gruppi, teoremi di omomorfismo, i gruppi Z_m. Anelli, ideali, anelli quozienti, omomorfismi ecc. Campi. Esempi e applicazioni. L'anello Z: teorema cinese del resto, criteri di divisibilità, la prova del nove.

Numeri interi: teorema di divisione, massimo comun divisore (mcd) e minimo comune multiplo (mcm) tra interi, calcolo del mcd con l'algoritmo di Euclide, identità di Bezout, l'algoritmo binario per il calcolo del mcd. Numeri primi, unicità della fattorizzazione, definizione del mcd e mcm per mezzo della fattorizzazione. Teorema di Cesàro sulla densità delle coppie di numeri tra loro primi.
Piccolo teorema di Fermat e sue applicazioni.

Campi: caratteristica di un campo, prime proprietà dei campi di caratteristica finita e campi finiti. L'isomorfismo di Frobenious. L'espressione (a+b)^p in un campo di caratteristica p.

Polinomi (in una indeterminata): L'anello dei polinomi. Polinomi su un campo, teorema di divisione per polinomi, mcd e mcm tra polinomi, algoritmo di Euclide, identità di Bezout. Polinomi irriducibili, l'anello dei polinomi su un campo come dominio a fattorizzazione unica. Teorema cinese del resto per polinomi. Derivata di un polinomio. Criterio per stabilire se un polinomio su un campo ha fattori multipli. Polinomi con derivata nulla (caso di caratteristica 0 e di caratteristica p).

Criteri di fattorizzazione di polinomi: fattorizzazione in C[x] (teorema fondamentale dell'algebra) e fattorizzazione in R[x]. La fattorizzazione in Z[x] e Q[x]: polinomi primitivi, lemma di Gauss, criterio di irriducibilità di Eisenstein. Infinità dei polinomi irriducibili in Z[x] e Q[x]. Metodo di interpolazione di Lagrange per fattorizzare un polinomio in Z[x]: il problema della fattorizzazione (in Z[x] e Q[x]) è risolvibile in un numero finito di passi. Fattorizzazione in Z_p[x]: i teoremi di Berlekamp e l'algoritmo. Esempi (anche con Maple). Criterio di sollevamento di Hensel: come risalire dalla fattorizzazione di un polinomio in Z_p[x] alla sua fattorizzazione in Z[x] (senza dim.). Fattorizzazione di polinomi in Q[x1,...,xn].

Campi finiti: Teorema dell'elemento primitivo. Un campo finito è della forma: Z_p[x]/(q) con q polinomio irriducibile. Polinomi irriducibili di Z_p[x]. Il polinomio x^{p^n} - x è il prodotto di tutti i polinomi irriducibili di Z_p[x] di grado d, con d | n. Funzione di Moebius. Calcolo del numero di polinomi irriducibili di Z_p[x]. (formula di inversione di Moebius). Tutti i campi finiti di ordine pⁿ sono isomorfi.

Polinomi in più variabili: L'anello k[x₁, ..., x_n] (con k campo). Ordinamenti sui monomi; esempi di ordinamenti: lessicografico omogeneo, lessicografico puro, lessicografico inverso. Isomorfismo tra i monomi e il monoide Nⁿ. Definizione di leading term e leading coefficient di un polinomio. Lemma di Dixon (ogni ideale monomiale di k[x₁, ..., x_n] è finitamente generato). Ogni ordinamento sui monomi (termini) è un buon ordinamento. Riduzione di un polinomio rispetto ad una famiglia finita di polinomi. Definizione di polinomio ridotto rispetto ad una famiglia finita di polinomi. Algoritmo di riduzione.

Basi di Groebner: Definizione di base di Groebner e alcune sue caratterizzazioni. Esistenza delle basi di Groebner. Il teorema della base di Hilbert come conseguenza del teorema di esistenza delle basi di Groebner e del lemma di Dixon. Definizione di S-polinomio. Il teorema di Buchberger per il calcolo delle basi di Groebner. L'algoritmo di Buchberger.

Calcolo simbolico: Introduzione al programma "Maple", esempi vari.

Testi seguiti:
- William W. Adams, Philippe Loustaunau. An introduction to Groebner bases - Providence : American Mathematical Society.
- Martin Kreuzer, Lorenzo Robbiano. Computational Commutative algebra 1 - Springer-Verlag.
- Lindsay Childs, A concrete introduction to higher algebra, Springer - Verlag.
- Donald Knuth, The art of computer programming, vol 2, Addison - Wesley.
- Rudolf Lidl, Gunter Pilz, Applied abstract algebra, Springer - Verlag.