Appello autunnale

Istituzioni di Matematiche II per Sc. Geologiche A.A. 1999-2000

3 ottobre 2000

1) Sia f: ℝ^{2} ⟶ ℝ data da: f(x, y) = x cos(y). Calcolare il gradiente di f, la matrice Hessiana e i punti critici.

2) Sia f : ℝ^{2} ⟶ ℝ definita da: f(x, y) = e^{1+x+y}. Calcolare il volume del solido che ha per base il rettangolo di vertici i punti (0, 0), (2, 0), (2, 1) e (0, 1) ed è limitato superiormente da f(x, y).

3) Risolvere il seguente sistema di equazioni differenziali lineari:

\{ \begin{matrix}y′_{1} & = & y_{1} − y_{2} + 2e^{x} \\ y′_{2} & = & y_{1} + y_{2} − 2e^{x} \end{matrix}

4 Calcolare gli autovalori della seguente matrice:

B = ( \begin{matrix}5 & −7 & 2 \\ 4 & −6 & 2 \\ 2 & −3 & 1 \end{matrix} ) .

Verificare poi che l’insieme seguente: W = {(a, a, a) | a ∈ ℝ} è un sottospazio lineare di ℝ^{3}. Dire se W risulta un autospazio di B.