Appello autunnale Istituzioni di Matematiche II per Sc. Geologiche A.A. 1999-2000

20 ottobre 2000

1) Sia f: ℝ^{2} ⟶ ℝ data da: f(x, y) = x sin(y). Calcolare il gradiente di f, la matrice Hessiana e i punti critici.

2) Calcolare il seguente integrale:

∫ ∫_{D} xy^{2} dx dy

Dove D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1; x ≤ y ≤ 2x + 1}

3) Risolvere le seguenti equazioni differenziali:

y′′(x) − 3y′(x) + 2y(x) = 4x^{2}; y′(x) = y(x) cos(x); y′′(x) − y(x) = x.

4 Calcolare gli autovalori della seguente matrice:

B = ( \begin{matrix}1 & −2 & −2 \\ 4 & 1 & 2 \\ −4 & 1 & 0 \end{matrix} ) .

Trovare poi almeno un autovettore corrispondente a ciascun autovalore.