Sessione autunnale

Istituzioni di Matematiche II per Sc. Geologiche

A.A. 2000-2001

12 ottobre 2001

1) Risolvere il seguente sistema di equazioni differenziali:

\begin{matrix}y′_{1}(x) = & 6y_{1}(x) & + & y_{2}(x) \\ y′_{2}(x) = & −y_{1}(x) & + & 4y_{2}(x) & + & x + 1 \end{matrix}

2) Sia f : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3} data da: f(x, y, z) = (x − z, −4x + 3y + 4z, 2x − 2z). Calcolare il nucleo di f e la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche. Infine calcolare gli autovalori e autovettori di f.

3) Sia D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}. Calcolare:

∫ ∫_{D} xe^{y} dx dy

4) Sia Ω = {a, b, c} e siano X, Y : Ω ⟶ R definite da:

\begin{matrix}X(a) = 3, & X(b) = 2, & X(c) = 4 \\ Y (a) = 1, & Y (b) = 0, & Y (c) = 2 \end{matrix}

Calcolare:

- la covarianza di X e Y;

- la deviazione standard di X;

- la varianza di Y.