Istituzioni di Matematiche II Scienze Geologiche Sessione straordinaria

Anno Accademico 2001-2002

11 dicembre 2001

1) Risolvere il seguente sistema di equazioni differenziali:

\{ \begin{matrix}y′_{1} = & −2y_{1} + 3y_{2} + 24x \\ y′_{2} = & 2y_{1} + 3y_{2} \end{matrix}

2) Risolvere le seguenti due equazioni differenziali del primo ordine: y′ = \frac{1}{x}y + 2x^{2}e^{x^{2}}, (per semplicità si supponga x > 0)

y′ = 3x^{2}(y + 1)^{2}

3) Calcolare eventuali punti di massimo, di minimo o di sella della seguente funzione:

f(x, y) = e^{x^{2}+1/3y^{3}−y}

4) a) Sia D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ x}. Si calcoli il seguente integrale doppio:

∫∫_{D} x sin y dxdy

b) Sia ϕ : [0, \frac{π}{3} ] ⟶ IR^{2} data da: ϕ(t) = (sin(t), cos(t)). Calcolare:

∫_{ϕ} F (x, y) dx + G(x, y) dy

dove F (x, y) = xy e G(x, y) = y^{2} + 1.