Istituzioni di Matematiche II

Corso di laurea in Scienze Geologiche

a.a. 1998-99

Sessione estiva

8 giugno 1999

1) Sia f : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3} l’applicazione lineare data da: f(x, y, z) = (x + y, 2x − z, 3x + y − z). Trovare la matrice M_{f} associata ad f (relativamente alle basi canoniche). Trovare poi gli autovalori di f.

2) Sia f : ℝ^{2} ⟶ ℝ data da f(x, y) = 2xy + x + 3y^{2}. Trovare la matrice hessiana di f, i punti critici ed eventuali massimi e minimi.

3) Alberto propone a Bruno il seguente gioco: da un mazzo di 52 carte (non truccato) Bruno estrae una carta. Se è un tre, Alberto dà a Bruno 9.000 lire, se è il fante di picche, Alberto dà a Bruno 45.000 lire, altrimenti Bruno dà ad Alberto 2.000 lire. Chi è favorito nel gioco?

4) Scrivere la serie di Fourier per la seguente funzione definita in [−π, π] da:

f(x) = \{ \begin{matrix}2 & se x ∈ ] − π/2, π/2[ \\ −2 & se x ∈ [π/2, π] ∪ [−π, −π/2] \end{matrix}

(e prolungata per periodicità ad ℝ).

5) Si risolvano le seguenti equazioni differenziali:

y′ = 3y sin(x) + 4 sin(x);  y′ = (x^{3} + 1)y;  y′′ − 2y′ − 3y = 3x.