Istituzioni di Matematiche II Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1998-99 Sessione straordinaria

4 febbraio 2000

1) Sia f : A ⟶ ℝ definita da:

f(x, y) = cos(x) cos(y),

dove A = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | − π < x < 3π, −π < y < 3π}.

a) Calcolare il gradiente di f e la matrice hessiana;

b) Dire quale dei seguenti punti di A è massimo o minimo per f e giustificare la risposta:

(π, 0), (π, π), (2π, π), (0, 0).

2) Risolvere le seguenti equazioni differenziali:

y′(x) = 2y(x) + 3e^{x}, y′(x) = \frac{sin(x)}{y^{2}}, y′′(x) + 2y′(x) + 1 = x

3) Calcolare l’ascissa curvilinea di:

ϕ : [0, \frac{π}{2} ] ⟶ ℝ^{2}, ϕ(t) = (sin(4t), cos(4t)) .

Data poi la funzione

F (x, y) = y

calcolare:

∫_{ϕ} F ds.