Istituzioni di Matematiche II Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1998-99 Sessione autunnale

4 ottobre 1999

1) Risolvere le seguenti equazioni o sistemi di equazioni differenziali:

y′ = \frac{y + 1}{x − 3};  y′′ − 4y′ + 3y = x + 1;  \{ \begin{matrix}y′_{1} = & y_{1} + y_{2} + 2e^{x} \\ y′_{2} = & − 2y_{1} + 3y_{2} − 2e^{x} \end{matrix}

2) Sia f : ℝ×]0, \frac{3}{2}π[⟶ ℝ data da: f(x, y) = x^{2} −sin(y); calcolare i punti critici, i massimi e i minimi di f.

3) Dati i vettori u = (1, 2, 3), v = (0, 2, 1) ∈ ℝ^{3}, trovare tutti i vettori ortogonali a u e v e di lunghezza 2\sqrt{6}.

4) Calcolare le somme delle seguenti serie:

∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{3^{k}};  ∑_{k=2}^{∞} \frac{1}{3^{k}};  ∑_{k=0}^{∞} 2^{k};  ∑_{n=0}^{∞} (\frac{3}{5})^{n} .