Istituzioni di Matematiche II Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1999-2000 Sessione estiva

30 giugno 2000

1) Calcolare il seguente integrale:

∫ ∫_{D} x cos(y) dx dy

Dove D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ π; 0 ≤ y ≤ x}.

2) Risolvere la seguente equazione differenziale:

y′′(x) − 2y′(x) + y(x) = cos(x)

3) Sia φ : [0, 2π] ⟶ ℝ^{2} data da φ(t) = (cos(t) − 1, sin(t)), F : ℝ^{2} ⟶ ℝ data da F (x, y) = 2x^{2} + 2y^{2} e G : ℝ^{2} ⟶ ℝ data da G(x, y) = x + y. Calcolare:

∫_{φ} F (x, y) dx + G(x, y) dy

4) Sia f : ℝ^{2} ⟶ ℝ data da: f(x, y) = e^{xy}cos(x). Calcolare il gradiente e al matrice hessiana di f. Trovare eventuali punti critici di f.