Istituzioni di Matematiche II Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1998-99 Sessione autunnale

29 ottobre 1999

1) Sia D il dominio di ℝ^{2} definito da: D = { (x, y) | 0 ≤ x ≤ 2; x + 1 ≤ y ≤ 2x + 3 }. Calcolare il seguente integrale:

∫∫_{D} e^{x} \frac{4y}{x + 2} dx dy.

2) Sia f : ℝ^{2} ⟶ ℝ data da: f(x, y) = cos(xy) + sin(xy). Calcolare il gradiente e la matrice hessiana di f.

3) Calcolare gli autovalori e gli autovettori della seguente matrice:

( \begin{matrix}1 & −2 & −7 \\ 2 & 4 & 2 \\ −1 & 2 & 7 \end{matrix} ) .

4) Risolvere le seguenti equazioni differenziali:

y′′ − 5y′ + 4y = 4x − 1; y′ = yx cos(x).