Istituzioni di Matematiche II Corso di laurea in Scienze Geologiche a.a. 1999-2000 Sessione estiva

2 giugno 2000

1) Data la matrice:

A = ( \begin{matrix}6 & −2 & −2 \\ −9 & 2 & 3 \\ 21 & −6 & −7 \end{matrix} )

trovare i suoi autovalori e almeno un suo autospazio.

2) Sia f : IR^{2} ⟶ IR data da f(x, y) = xy + 3y + x^{2} + y^{2}. Trovare la matrice hessiana di f ed eventuali massimi e minimi.

3) Risolvere il seguente sistema di equazioni differenziali:

\{ \begin{matrix}y′_{1}(x) = & y_{1}(x) + y_{2}(x) − 4 \\ y_{2}(x)′ = & 3y_{1}(x) − y_{2}(x) − x \end{matrix}

4) Calcolare il seguente integrale:

∫ ∫_{D} x^{2}y dx dy

Dove D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1; x ≤ y ≤ 2x + 1}