Istituzioni di Matematiche II Scienze Geologiche Seconda provetta

Anno Accademico 2000-2001

23 febbraio 2001

1) Calcolare gli autovalori della seguente matrice:

( \begin{matrix}7 & 0 & 3 \\ −6 & 1 & −3 \\ −6 & 0 & −2 \end{matrix} )

e per ciascun autovalore trovare l’autospazio corrispondente.

2) Sia D : {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ x + 1}. Calcolare:

∫∫_{D}(3x + 20y^{3}) dx dy

sia per via diretta, sia usando una delle formule di Green.

3) Sia ϕ : [0, π/4] ⟶ R^{3} definita da:

ϕ(t) = (3 cos(t), 5 sin(t), 4 cos(t)) .

Calcolare:

• la lunghezza ℓ(ϕ) della curva ϕ;

• ∫_{ϕ} F ds, dove F (x, y, z) = \frac{x^{2} + yz}{x}.

4) Sia F : R^{2} ⟶ R^{2} data da: F (x, y) = (e^{y} + ye^{x}, e^{x} + xe^{y}). Provare che F è un campo conservativo. Sia poi H : R^{3} ⟶ R^{3} data da: H(x, y, z) = (xz^{2}, xy, xyz). Calcolare il rotore e la divergenza di H.