II Provetta Istituzioni di Matematiche II per Sc. Geologiche A.A. 1999–2000

11 marzo 2000

1) Calcolare

∫∫_{D}(xy − y) dx dy

ove D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2x + 1}.

2) Sia φ : [0, 2π] ⟶ ℝ^{2} data da φ(t) = (2 cos(t) − 1, 2 sin(t) − 2), F : ℝ^{2} ⟶ ℝ data da F (x, y) = x^{2} + y^{2} e G : ℝ^{2} ⟶ ℝ data da G(x, y) = x − 2y. Calcolare:

∫_{φ} F (x, y) ds, ∫_{φ} F (x, y) dx + G(x, y) dy

3) Risolvere il seguente sistema di equazioni differenziali:

\{ \begin{matrix}y′_{1} = & 2y_{1} − y_{2} + cos(x) \\ y′_{2} = & y_{1} + 4y_{2} − sin(x) \end{matrix}