II Provetta

Istituzioni di Matematiche II per Sc. Geologiche A.A. 1998–99

28 maggio 1999

1) Calcolare

∫∫_{D} x^{2}y dx dy

ove D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2} usando sia il metodo diretto, sia una formula di Gauss-Green.

2) Sia φ : [0, 2π] ⟶ ℝ^{2} data da φ(t) = (2 cos(t), 2 sin(t)), F : ℝ^{2} ⟶ ℝ data da F (x, y) = x + 3y^{2} e G : ℝ^{2} ⟶ ℝ data da G(x, y) = x^{2} − y^{2}. Calcolare:

∫_{φ} F (x, y) ds, ∫_{φ} F (x, y) dx + G(x, y) dy

3) Quattro studenti di una classe (ω_{1}, … ω_{4}) hanno riportato in due esami distinti X e Y i seguenti voti:

ω_{1} ω_{2} ω_{3} ω_{4}
X 5 6 7 6
Y 4 5 5 6

Si calcoli l’equazione della retta di regressione dei dati. Si calcoli poi la matrice di correlazione delle variabili X e Y.

4) Scrivere la serie di Fourier per la seguente funzione (definita in [−π, π] e prolungata per periodicità ad ℝ):

f(x) = \{ \begin{matrix}−1 & se x ∈ [−π, 0[ \\ 1 & se x ∈ [0, π[ \end{matrix}

e, usando l’uguaglianza di Parseval, trovare il valore a cui converge la seguente serie:

∑_{k=1}^{+∞} \frac{1}{(2k + 1)^{2}} .