Istituzioni di Matematiche II Scienze Geologiche Prima provetta (supplettiva)

Anno Accademico 2001-2002

11 dicembre 2001

1) Risolvere il seguente sistema di equazioni differenziali:

\{ \begin{matrix}y′_{1} = & −2y_{1} + 3y_{2} + 24x \\ y′_{2} = & 2y_{1} + 3y_{2} \end{matrix}

2) Risolvere le seguenti due equazioni differenziali del primo ordine:

y′ = \frac{1}{x}y + 2x^{2}e^{x^{2}}, (per semplicità si supponga x > 0)

\{ \begin{matrix}y′ = 3x^{2}(y + 1)^{2} \\ y(0) = 2 \end{matrix}

3) Calcolare eventuali punti di massimo, di minimo o di sella della seguente funzione:

f(x, y) = e^{x^{2}+1/3y^{3}−y}

4) Sia f : IR^{2} ⟶ IR definita da f(x, y) = y − 2x^{3} + x + 6. Calcolare la curva di livello passante per il punto P = (1, 1) e mostrare che il gradiente calcolato in P è ortogonale a tale curva.