Istituzioni di Matematiche II Scienze Geologiche

Anno Accademico 2000-2001

12 gennaio 2001

1) Data la funzione:

f(x, y) = \frac{x}{y} + \frac{8}{x} − y

dire per quali valori di x e y è definita e trovare eventuali massimi e minimi.

2) Risolvere le seguenti equazioni differenziali:

y′(x) = [y(x)]^{2} cos x; y′(x) = 2x^{2}y(x) + 4x^{2}

3) Data la funzione f : R^{3} ⟶ R^{3} definita da:

f(x, y, z) = (x + y, x + z, 2x + y + z)

trovare la matrice associata ad f rispetto alla base canonica di R^{3}; determinare poi, sia per f(R^{3}) sia per ker f, una base e la dimensione.

4) Risolvere il seguente sistema di equazioni differenziali:

\{ \begin{matrix}y′_{1} = y_{1} + y_{2} \\ y′_{2} = −5y_{1} − y_{2} + 3x \end{matrix}

sapendo che y_{1}(0) = 1 e y_{2}(0) = −1.