I Provetta

Istituzioni di Matematiche II per Sc. Geologiche A.A. 1999–2000

15 gennaio 2000

1) Provare che i tre vettori:

v_{1} = (0, 1, 0), v_{2} = (1, 0, 1), v_{3} = (1, 1, 0)

costituiscono una base di ℝ^{3}. Calcolare le cooridinate di v = (1, 1, 1) rispetto a tale base.

2) Sia f : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3} l’applicazione lineare definita da:

f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (−x_{2} + x_{3}, x_{1} − x_{3}, −x_{1} + x_{3}).

a) Calcolare la matrice di f rispetto alla base canonica di ℝ^{3};

b) Determinare una base di Im (f) e di kern (f);

c) f è iniettiva? È suriettiva? Giustificare le risposte.

3) Sia f : A ⟶ ℝ definita da:

f(x, y) = sin(x) sin(y),

dove A = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 0 < x < 2π, 0 < y < 2π}.

a) Calcolare il gradiente di f e la matrice hessiana;

b) Dire quale dei seguenti punti di A è massimo o minimo per f e giustificare la risposta:

(\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ), (\frac{3}{2}π, \frac{π}{2} ), (\frac{3}{2}π, \frac{3}{2}π), (\frac{π}{2} , \frac{3}{2}π).

4) Risolvere le seguenti equazioni differenziali:

y′(x) = 3y(x) + e^{x}, y′(x) = \frac{cos(x)}{y^{2}}, y′′(x) + y′(x) + y(x) = 0