I Provetta

Istituzioni di Matematiche II per Sc. Geologiche A.A. 1998–99

2 marzo 1999

1) Dire se i seguenti 3 vettori di ℝ^{3} sono linearmente indipendenti (e giustificare la risposta):

a) u_{1} = (3, 2, 0), u_{2} = (−2, 0, 1), u_{3} = (0, 2, 1);

b) Trovare un vettore v = (a, b, c) ortogonale ad u_{1} e ad u_{2} e di lunghezza \sqrt{30}.

2) Data la funzione f : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3} definita da:

f(x, y, z) = (−4x − 2y − 5z, 3x + 2y + 3z, 4x + 2y + 5z)

trovare:

a) la matrice associata (rispetto alle basi canoniche);

b) gli autovalori ed autovettori di f.

3) Sia f(x, y) = x^{3}e^{xy}. Calcolare:

a) il gradiente di f;

b) la matrice Hessiana di f.

4) Risolvere le seguenti equazioni differenziali:

y′ = (y − 1) cos(x); 3y′ = \frac{1}{(x − 3)y^{2}} .

5) Risolvere il seguente sistema di equazioni differenziali:

\{ \begin{matrix}y′_{1} & = 3y_{1} − y_{2} + 5x \\ y′_{2} & = 2y_{1} + y_{2} − 1 \end{matrix}