Esercizi preparatori alla II provetta.

1) Sia D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}. Calcolare:

∫∫_{D}(x^{2} + y^{2}) dx dy, ∫∫_{D}(x + 3y^{2}) dx dy, ∫∫_{D} \frac{x + y}{x + 1} dx dy.

[Probabili risposte: \frac{10}{3}, 9 e 2 rispett.]

2) Sia D il semi-disco di centro l’origine e raggio 1 disposto nel primo e secondo quadrante. Calcolare i seguenti integrali:

∫∫_{D}(x + y) dx dy, ∫∫_{D} x dx dy, ∫∫_{D}(y + 3) dx dy.

[Probabili risposte: \frac{2}{3}, 0 e \frac{2}{3} + \frac{3π}{2} rispett.]

3) Sia R il parallelepipedo definito da:

R = {(x, y, z) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 1 ≤ z ≤ 2}.

Calcolare:

∫∫∫_{R} xyz dx dy dz
[Probabile risposta: \frac{3}{2}]

4) Sia ϕ : [0, 1] ⟶ R^{2} definita da: ϕ(t) = (3t, 4t). Calcolare la lunghezza ℓ(ϕ) di ϕ.

5) Sia ϕ : [0, π] ⟶ R^{3} definita da ϕ(t) = (cos t sin t, sin^{2} t, 2t). Calcolare ℓ(ϕ).

6) Sia ϕ : [0, 2π] ⟶ R^{3} definita da ϕ(t) = (e^{t} sin t, e^{t} cos t, t). Calcolare ℓ(ϕ).

7) Sia ψ : [0, π] ⟶ R^{2} data da: ψ(t) = (2 sin(3t), 2 cos(3t)). Calcolare l’ascissa curvilinea di ψ.

8) Sia ψ : [0, π] ⟶ R^{3} data da: ψ(t) = (sin(6t), cos(6t), 4t). Calcolare l’ascissa curvilinea di ψ.

9) Sia ϕ(t) = (3 cos t sin t, 3 sin^{2} t, 4t) definita per t ∈ [0, π/2]. Calcolare: ∫_{ϕ} zds.

10) Calcolare

∫_{ϕ}(x^{2} + y^{2}) ds

dove ϕ : [0, 1] ⟶ R^{2} è definita da ϕ(t) = (3t, 2t).

11) Calcolare

∫_{ϕ} 2x dx + (4y + 3z) dy + 3y dz

lungo la curva ϕ(t) = (t^{2}, cos(t), t) con t ∈ [0, π/2].

[Possibile risposta: \frac{1}{16}π^{4} − 2]

12) Calcolare:

∫_{ψ} x^{2} dx + y dy

dove ϕ : [0, π] ⟶ R^{2} è definita da ψ(t) = (t, cos(t)).

13) Sia F (x, y) = (2x−3y sin(x), 4y+3 cos(x)). Dire se F è un campo vettoriale conservativo e calcolare il seguente integrale:

∫_{ϕ} F (x, y) · dr

dove ϕ(t) = (sin(t) + cos(t), 3t^{2}) è definita per t ∈ [0, π].

14) Sia F (x, y, z) = (yze^{xy}, xze^{xy}, e^{xy} + 1). Provare che F è un campo conservativo. Calcolare poi il seguente integrale:

∫_{ϕ} yze^{xy} dx + xze^{xy} dy + (1 + e^{xy}) dz

lungo la curva ϕ : [0, 1] ⟶ R^{3} data da ϕ(t) = (t^{4} + 5t, 4(1 − t), t^{2}). Calcolare poi il rotore di F. Il risultato che si ottiene era prevedibile a priori, senza fare conti?

15) Sia G(x, y, z) = xy cos(yz). Sia F := ∇(G). Calcolare la divergenza di F.

[Risp. − cos(yz)z^{2} − y^{2} cos(yz)]

16) Sia F (x, y) = (cos(xy) + sin(xy), xy). Calcolare la divergenza e il rotore di F.

17) Sia Ω = {1, 2, 3} e sia X : Ω ⟶ R data da: X(1) = −2, X(2) = 4, X(3) = 1. Calcolare la variabile standardizzata che si ottiene da X. Sia poi Y : Ω ⟶ R data da Y (1) = 1, Y (2) = 3, Y (3) = 5. Calcolare la matrice di correlazione delle variabili normalizzate che si ottengono da X e Y.

18) Sia Ω = {a, b, c} e siano X, Y : Ω ⟶ R date da X(a) = 4, X(b) = 2, X(c) = 3 e Y (a) = 4, Y (b) = 9/2, Y (c) = 5. Calcolare la retta di regressione di X e Y.