Esercizi di Ricapitolazione

Istituzioni di Matematiche II per Sc. Geologiche A.A. 1999–2000

febbraio 2000

1) Da un’indagine è risultato che 480 studenti di una scuola elementare hanno il Q.I. distribuito nel seguente modo:

Q.I. : 70 74 78 82 86 90 94 98 102 106 110 114 118 122 126 freq. : 4 9 16 28 45 66 85 72 54 38 27 18 11  5  2

Trovare la media, la deviazione standard e la varianza del Q.I. dei 480 studenti, tracciare un istogramma per rappresentare i dati e trovare infine le frequenze relative dei Q.I.

2) Dati i seguenti due insiemi di numeri:

a) 12, 14, 5, 7, 11, 45, 18, 34, 23, 18;

b) 17, 18, 16, 16, 18, 19, 20, 19, 21, 23. Quanto vale la media di tali dati? Quanto vale la deviazione standard? Perchè quest’ultima differisce nei due insiemi di dati?

3) Sia Ω un insieme costituito da una popolazione di cinque individui {ω_{1}, ω_{2}, …, ω_{5}} e siano X_{1}, X_{2} e X_{3} le seguenti funzioni:

ω_{1} ω_{2} ω_{3} ω_{4} ω_{5}
X_{1} 2 4 4 3 1
X_{2} 5 10 9 6 3
X_{3} 16 11 13 13 17

Trovare la covarianza delle funzioni X_{1} e X_{2}, di X_{1} e X_{3} e calcolare le relative rette di regressione. Tracciare su un grafico la retta di regressione di X_{1} e X_{3}. Calcolare la matrice di correlazione di X_{1}, X_{2} e X_{3}.

4) Risolvere le seguenti equazioni differenziali:

y′′ − 2y′ − 3y = x^{2} + x; y′′ − 6y′ + 3y = 2 sin(x);
y′′ − 6y′ + 3y = cos(x); y′′ − 3y′ = x^{2} + 1; y′′ − 5y′ + 4y = 4x − 1.

5) Risolvere i seguenti problemi di Cauchy:

\{ \begin{matrix}y′′ − 2y′ − 2y & = e^{x} \\ y(0) & = 1 \\ y′(0) & = −1 \end{matrix} \{ \begin{matrix}y′′ − 2y′ − 2y & = x^{2} \\ y(0) & = 0 \\ y′(0) & = 0 \end{matrix}

6) Risolvere i seguenti sistemi:

\{ \begin{matrix}y′_{1} & = y_{1} − y_{2} + e^{x} \\ y′_{2} & = y_{1} + y_{2} − e^{x} \end{matrix}  \{ \begin{matrix}y′_{1} & = y_{2} + x sin(x) \\ y′_{2} & = −y_{1} − 3x cos(x) \end{matrix}

7) Se una popolazione raddoppia ogni 10 anni e attualmente è costituita 100.000 individui, in quanto tempo raggiungerà i 10 milioni?

8) Il decadimento radioattivo del Carbonio-14 è di 0,01238% annuo. Qual è il suo tempo di dimezzamento?

9) Una certa sostanza radioattiva impiega 80.000 anni per decrescere del 75% della sua massa iniziale. Trovare il suo tempo di dimezzamento.

10) Un lago contiene 5 × 10^{8} litri di acqua in cui, all’istante t = 0, sono dissolti 10^{4} chili di sale. Dell’acqua si riversa nel lago in ragione di 100 litri al secondo e contiene 1% di sale. Dal lago fuoriesce la stessa quantità di acqua. Trovare la quantità di sale disciolta nel lago in funzione del tempo. Qual è il limite massimo del sale disciolto nel lago? (cioè qual è la quantità di sale per t → +∞?) In quale istante il sale disciolto sarà il 90% del limite massimo?

11) Calcolare

∫∫_{D} x^{2}y dx dy

ove D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2} usando sia il metodo diretto, sia una formula di Gauss-Green.

22) Sia φ : [0, 2π] ⟶ ℝ^{2} data da φ(t) = (2 cos(t), 2 sin(t)), F : ℝ^{2} ⟶ ℝ data da F (x, y) = x + 3y^{2} e G : ℝ^{2} ⟶ ℝ data da G(x, y) = x^{2} − y^{2}. Calcolare:

∫_{φ} F (x, y) ds, ∫_{φ} F (x, y) dx + G(x, y) dy

13) Quattro studenti di una classe (ω_{1}, … ω_{4}) hanno riportato in due esami distinti X e Y i seguenti voti:

ω_{1} ω_{2} ω_{3} ω_{4}
X 5 6 7 6
Y 4 5 5 6

Si calcoli l’equazione della retta di regressione dei dati. Si calcoli poi la matrice di correlazione delle variabili X e Y.

14) Sia D il dominio di ℝ^{2} definito da: D = { (x, y) | 0 ≤ x ≤ 2; x + 1 ≤ y ≤ 2x + 3 }. Calcolare il seguente integrale:

∫∫_{D} e^{x} \frac{4y}{x + 2} dx dy.

15) Calcolare l’ascissa curvilinea di:

ϕ : [0, π] ⟶ ℝ^{2}, ϕ(t) = (sin(2t), cos(2t)) .

Data poi la funzione

F (x, y) = x

calcolare:

∫_{ϕ} F ds.

16) Calcolare i seguenti integrali doppi:

∫∫_{D}(3x + xy) dx dy, dove D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 2x + 1}

∫∫_{D} sin(x + y) dx dy, dove D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}

17) Sia D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x^{2} + 1}. Calcolare:

∫∫_{D}(xy + 1) dx dy

sia con il metodo diretto, sia con una formula di Gauss-Green.

18) Sia F : A ⟶ ℝ^{2} data da: F (x, y) = (xy, x sin(y)) ove A = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}. Dette F_{1} e F_{2} le due componenti di F, calcolare:

∫_{+∂D} F_{1}(x, y)dx + F_{2}(x, y)dy

usando (anche) la formula di Stokes.

Avviso: non ho verificato i precedenti esercizi, quindi alcuni possono essere di difficile o impossibile soluzione...